万变不离其宗
———一道三角函数题的破解

◇ 山东 张海艳

三角函数是每年高考中的热门考点,而最为常见的是三角函数的图象与性质问题.此类问题一般通过三角函数的定义、公式、图象与性质等的考查来达到应用的目的,难度中等,但运算量大,技巧性强.

1 问题呈现

题目已知函数其中上恒成立,则的最大值为( ).

此题以三角函数为载体,结合三角函数的含参关系式以及三角不等式恒成立的条件,来确定对应三角函数值的最值问题.通过巧妙设置,把三角函数中的几大知识点加以融合,充分考查了三角函数的图象与性质、三角不等式以及恒成立问题等,是考查三角函数知识的一大亮点与创新点.

2 问题破解

解法1(三角不等式讨论法)由于可得而恒成立,则有又由于φ＜2x＋φ＜所以

点评

解法1根据三角不等式恒成立的条件,综合考查三角函数的图象与性质,这是解决此类问题的一般方法.破解的关键就是有效综合三角不等式恒成立的求解以及三角函数的图象与性质来确定含参变量的取值范围,为进一步确定三角函数的最值奠定基础.

解法2(排除法)由于直接排除选项D;又是最小值,不符合题目条件,可以排除选项C;假设是最大值,此时解得cosφ＝0,结合可得2x∈时,

f(x)＞0不恒成立;当时,

f(x)＞0也不恒成立,所以可以排除选项A.故选B.

点评

涉及三角函数的一些选择题,排除法有时是一种非常有效、快捷的方法.充分利用三角函数的图象与性质,借助各选项之间的关系,可以巧妙地加以分析与排除,间接处理……