1∶1内共振条件下受基础激励屈曲梁的非线性振动和分岔分析

黄建亮 肖龙江

摘要：研究两端固定屈曲梁这种同时含有2，3次非线性项的系统受基础简谐激励作用下的非线性振动响应及分岔演化过程。对屈曲梁的运动微分方程，利用Galerkin方法分离时间和空间变量，应用增量谐波平衡（IHB）法自动追踪屈曲梁的非线性振动响应的周期解和倍周期解，并用Floquet理论分析其解的稳定性。研究表明屈曲梁对称模态的固有频率随屈曲程度而变化，反对称模态的固有频率保持不变。研究发现基础简谐激励作用下，不同屈曲程度时存在两种截然不同的非线性现象：1）在非共振时，反对称模态未能被激发，系统经过发生倍周期分岔通向混沌运动;2）在1∶1内共振条件下，反对称模态在一定的频率区间里会被激发，系统发生Hopf分岔导致具有等间距边频带的准周期运动，最后至混沌运动。利用IHB法得到结果与用Runge-Kutta法得到的数值结果一致。

关键词：非线性振动;屈曲梁;分岔;增量谐波平衡法;准周期运动

中图分类号：O322;TU375.1文献标志码：A文章编号：1004-4523（2020）04-0698-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2020.04.007

引言

屈曲梁/板/壳等结构的振动十分普遍，广泛存在于航空航天、土木、机械、电子等工程中[1-5]。飞机、火箭、导弹、加速推进器、航天结构里的柔性纤维、潜水器等典型例子，其基础的激励作用都与结构的横向振动有关。

由于初始弯曲和中面伸长，屈曲梁的振动方程中同时包含2次和3次非线性项，表现出较为复杂的非线性特性[6-7]。两端固定屈曲梁，由于边界条件的特殊性，其振动响应更为复杂[8-9]。Afaneh和Ibrahim利用多尺度法分析了1∶1内共振条件下两端固定屈曲梁的前两阶的振动响应[8]，发现在此条件下，梁的振动响应会出现周期运动、准周期运动和混沌运动三种形态，并通过实验进行验证。……