浅谈求逆矩阵的几种方法

2020-08-15 08:54张家宝南京师范大学中北学院江苏丹阳212300
数学学习与研究 2020年10期
关键词:凯莱哈密顿阶数

◎张家宝 (南京师范大学中北学院,江苏 丹阳 212300)

矩阵是线性代数的主要研究对象之一,在自然科学、工程技术以及管理科学中都有着广泛的应用.求矩阵的逆矩阵在矩阵理论中有着极其重要的地位.本文将给出几种求逆矩阵的常用方法.

一、求逆矩阵的方法

本文重点介绍求逆矩阵的具体步骤,因此对适用于高阶矩阵求逆矩阵的方法,也均以三阶方阵为例进行说明.

(一)利用伴随矩阵求逆矩阵

例1设求Α 的逆矩阵.

解故Α 可逆.

各元素的代数余子式为:A11=-2,A12=0,A13=1,A21=0,A22=-3,A23=2,A31=1,A32=4,A33=-3.

利用伴随矩阵求逆矩阵也称为公式法,需要先根据|Α|判断矩阵是否可逆,在可逆的情况下再求A 中各元素的代数余子式,从而构造伴随矩阵,最后利用公式求所给矩阵的逆矩阵.该方法适用于求低阶矩阵的逆矩阵,较为简便快捷.

(二)利用初等变换求逆矩阵

若矩阵Α 是n 阶可逆矩阵,可通过一系列的初等行变换将其化为单位矩阵Ε,即Ρm…Ρ2Ρ1Α =Ε,则Α-1=Ρm…Ρ2Ρ1=P.也就是说,Α 可逆,Α 的逆矩阵为一系列初等矩阵的乘积[1].具体步骤:将n 阶矩阵Α 与n 阶单位矩阵Ε构造成一个n×2n 矩阵(Α︙Ε),对其进行初等行变换,化为行最简形矩阵,此时Α 化为Ε,对应的Ε 就化为Α-1.

也可通过一系列的初等列变换将其化为单位矩阵Ε,即ΑΤ1Τ2…Τl=Ε,则Α-1=Τ1Τ2…Τl=Τ.具体步骤:将n 阶矩阵Α 与n 阶单位矩阵Ε 构造成一个2n×n 矩阵对其进行初等列变换,化为列最简形矩阵即可.

例2设求Α 的逆矩阵.

若采用初等列变换求逆矩阵,则要注意矩阵构造上的区别.

当然,初等行变换和初等列变换也可以同时使用.若n阶矩阵Α 可逆,则Α 必与n 阶单位矩阵Ε 等价,因此Α 可经过有限次初等变换化为标准型,即存在可逆矩阵Ρ 和Τ,使得ΡΑΤ=Ε,解得Α =Ρ-1Τ-1,Α-1=ΤΡ.此时,需构造一个2n×2n 矩阵,对前n 行进行初等行变换,再对前n列进行初等列变换,化为,由此解得Α-1.

对于阶数较高的矩阵,利用初等变换求矩阵的逆矩阵更为高效,并且无须判断矩阵是否可逆.利用初等变换求逆矩阵时,我们习惯上采用初等行变换求解.

(三)利用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵

定理[2]:设Α 是数域P 上一个n×n 矩阵,f(λ)=|λΕΑ|是Α 的特征多项式,则f(Α)=Αn-(a11+a22+…+ann)Αn-1+…+(-1)n|Α|Ε=Ο.

记f(Α)=Αn+a1Αn-1+…+an-1Α+anΕ=Ο,整理得

具体步骤:先求出矩阵Α 的特征多项式,再根据特征多项式相应地写出矩阵Α 的矩阵多项式,令其等于零矩阵Ο,对所得矩阵方程进行恒等变形,求得Α-1.

求Α 的逆矩阵.

解Α 的特征多项式为

由哈密顿—凯莱定理有f(Α)=Α3-3Α2+2Α-2Ε=Ο,

当矩阵阶数较低时,计算量并不繁杂,利用哈密顿—凯莱定理求逆矩阵也是一种可选的方法.

(四)利用分块矩阵求逆矩阵

例4设求Α 的逆矩阵.

二、结 论

本文给出了四种求逆矩阵的一般方法.当矩阵阶数较低时,可采用公式法,利用伴随矩阵求逆矩阵,也可利用哈密顿—凯莱定理求解;当矩阵阶数较高时,可利用初等变换求逆矩阵,若分块后具有特殊结构,也可利用分块矩阵求逆矩阵.

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