约束秩亏间接平差模型的解法及其应用

谢 波，肖东升，帅 磊

(1.合肥职业技术学院 建筑工程学院，合肥238000；2.西南石油大学 土木工程与测绘学院，成都610500)

在测量平差时，如果选取待求量作为未知的参数，并将观测值表示成未知参数的函数，则建立了间接平差模型﹒间接平差模型具有误差方程规律性强、便于计算机编程解算、精度评定方便和参数即是平差结果等优点，从而在大数据处理中得到广泛应用﹒但是，如果控制网没有起算数据或起算数据不足时，建立的间接平差模型的系数矩阵就会出现秩亏﹒为了得到方程最小二乘法的唯一解，必须附加一定的约束条件，此时建立的平差模型即为约束秩亏间接平差模型[1-4]﹒

解算约束秩亏间接平差模型的方法引起了研究者的关注﹒文献[5]推导出了约束秩亏自由网的拟稳平差法和附加条件法的平差公式，以及不同约束条件的相似转换公式﹒该公式针对秩亏自由网在附加约束条件后仍然秩亏的情形，其推导过程和秩亏自由网平差方法类似，是秩亏自由网平差方法的延伸﹒文献[6-7]提出将约束条件看作虚拟观测值来求解秩亏自由网平差，通过赋予约束条件一个足够大的权，避免了求广义逆﹒但是，如果选择的权不正确，虚拟观测值的改正数不为0，则需要再次加大权并重新计算，所以会导致迭代计算﹒文献[8]利用约束条件分别建立基准方程和约束条件方程，再联立误差方程和基准方程建立新的误差方程，从而用凯利逆代替了广义逆，解决了原有误差方程秩亏的问题，但其约束条件方程实质上仍然是基准方程﹒文献[9-10]针对间接平差模型秩亏时，提出将参数分为独立的未知参数和剩余参数2类，利用独立的未知参数向量建立误差方程，再利用未知参数和剩余参数建立约束方程，从而克服间接平差模型的秩亏﹒但由于选择独立未知参数的方法有多种，因此该方法的误差方程和约束方程在形式上不具有唯一性﹒

本文在上述研究基础上，进一步分析约束秩亏间接平差模型的结构，通过矩阵运算，推导约束秩亏间接平差模型参数估计的直接显性表达公式，以期解决间接平差模型的系数矩阵因秩亏而产生的无法直接求解方程系数矩阵之逆矩阵的问题，并用数值实验验证其解法和公式的正确性﹒

1 约束秩亏间接平差模型的一般解法

2 算例

现以一个水准网为例，来验证算法和公式的正确性﹒图1为某高程控制网，点A和B为已知的高程点，点P1，P2和P3为待求的高程点，已知数据与观测数据列于表1﹒现要求用约束秩亏间接平差模型来解算未知点的高程﹒

图1 水准网

表1 观测数据和已知数据

式中未知参数的系数矩阵为秩亏﹒

若A和B为已知点，则可以组成约束方程，即

进一步写成矩阵形式，且令

按观测距离定义观测值的权，并令1 km的观测高差为单位权，则观测值的协因数阵为

根据上文推导出的约束秩亏间接平差模型的参数估计式(19)，计算得

进一步写成矩阵形式，令

同理，按观测距离定义观测值的权﹒

根据最小二乘原则，解算得

该结果和约束秩亏间接平差模型解算的结果一样，证明本文提出的建模方法和解算公式是正确的﹒

3 结论

1)秩亏间接平差模型由观测数据组成，约束条件由已知数据组成，约束秩亏间接平差模型有效区分了观测数据和已知数据这2类不同的数据，模型意义明确，列立方程式简单可靠，且表达式唯一﹒

2)约束秩亏间接平差模型的基础方程的系数矩阵为四分块矩阵，其左上角矩阵为0子块，通过矩阵运算，可以推导出系数矩阵之逆矩阵的直接显性表达公式﹒通过和已知数据及间接平差模型的计算结果比较，发现二者完全一致，证明了算法和公式的正确性﹒