浅谈数列的极限及其应用

摘  要：本节探讨如何用数学的语言精确地刻画数列无限变化的过程。强调极限是在求解精确解的问题中产生，以及利用极限解决问题的思想与方法。

关键词：数列  函数  极限

高等数学是为大学一年级新生开设的一门数学基础课。而数学课程具有的较强理论性使得学生常常对其形成一种枯燥乏味的感受。如何结合实际背景，在传统的数学课中注入丰富的数学思想与文化是高等数学教与学中一个值得探讨的问题^[1]。

在同济大学第7版的高等数学中，第一章第2节展开了对数列极限的分析^[2]。在前面的课程中我们介绍了函数的概念，这是定义在数集与数集之间的映射。而当输入的数集为自然数集时即为一种特殊的函数：数列。由于数列的这一特殊性，其常常用来描述某些无限变化的过程问题，例如割圆术等。通过无限变化的过程来求解一些问题的精确解。这也是中国古代早期的朴素的極限思想的体现。古今中外的数学家都尝试着描述这个无穷无尽的抽象的变化过程。那怎样给出严格的数学形式的极限定义呢？这就是本节探讨的主题。

一、极限思想的发展

首先，结合引例的分析引导学生感受极限思想的发展。例如《庄子·天下篇》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时代数学家刘徽使用割圆术，分割圆为192边形，得：3.141024<π<3.142704。瑞典数学家科赫提出的“不断生长”的科赫雪花。

但是如何给出严格的数学定义来刻画数列的变化趋势却是一个长久未能解决的问题^[3]。这使微积分的发展产生了严重的危机。……