基于非线性耦合Ginzburg-Landau方程组的研究

张燕 陈兆蕙

【摘 要】无穷维动力系统问题是微分方程领域很重要的一个问题。随着研究技术的发展和进步，学者和专家分别在生物、物理等领域提出和解决了无穷维动力系统问题。而Ginzburg-Landau方程（下文简称GL方程）作为其中的一个研究方程，近年来逐渐成为该问题的主要研究对象，如流体力学等问题。本文主要研究GL方程的吸引子和周期波解。

【关键词】Ginzburg-Landau方程;吸引子;周期波解

【中图分类号】G642  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2020）16-0003-02

GL方程主要是对长时间不稳定及混沌做出的分析与数值计算，以及判断整体解和吸引子是否存在，从而完成对（近似）惯性流行问题的分析考虑。近年来，越来越多的研究者着重于考虑GL方程及相关扩展的GL方程，使得该问题的思想深度被挖掘得越来越深。

1   国内外研究现状

1950年，Ginzburg和Landau在“流体”的二阶相变理论基础上，建立了超导的宏观数学模型。1954年，在此基础上，Landau和Khalatnikov得出了自由场中最简单的GL方程。

1957年，Bardaen等人通过超导体微观模型研究GL方程。1959年，Gor-kov提出了在一定的约束条件下，GL方程的宏观模型可通过BCS微观模型得出。现阶段，越来越多的学者致力于研究GL方程并得到了许多有意义的结论。2000年，郭柏灵研究了5次GL方程的同宿轨和异宿轨，得出了给定一定约束条件下的同宿轨不变性的结果，并在两年后进一步指出了存在一般GL方程的整体吸引子[1]。2005年，Maruno研究了离散3次和5次非线性复型GL方程，之后解得了孤立子解和相关周期解[2]。2006年，Wazwaz M.先后研究了一维3次、5次非线性GL方程，得出了显式和隐式解，并将问题扩展到了非线性项阶数的扩展情形，之后解得了显式和隐式解[3]。李本图研究了复值GL方程，得出了存在周期边界问题整体吸引子和对应Hausdorf维数[4]。2008年，戴正德采取F-展开解得了二维GL方程的精确同宿通解及孤立子解，且得到了当时间趋于无穷大时，该解趋于一个周期波解[5]。

关于GL方程的科学研究，基本只研究单个GL方程的吸引子与周期波解，有时也研究GL-BBM方程组的吸引子。对于其他的问题，目前还没有相关结论，如更具有理論和实际意义的变系数双核非线性耦合GL方程组的整体吸引子和周期波解。通过整体吸引子的研究能够深入了解长时间的发展趋势，吸引子的结构分析可以使科研工作者对解的结构有进一步的了解与认识，因此关于方程的周期波解的研究有着重要的意义，同时研究非线性耦合GL方程组的整体吸引子和相应结构还有其它的解（如周期波解）也有着深远的研究意义。

2   一类GL方程组的相关解

本文考虑了GL方程的吸引子和周期波解，引出了吸引子是存在的。

【参考文献】

[1]郭柏灵.无穷维动力系统（下）[M].北京：国防工业出版社，2000.

[2]郭博玲，黄海洋，蒋慕容.金兹堡-朗道方程[M].北京：科学出版社，2002.

[3]Maruno K. Dissipative solitions of the discrete complex cubic-quintic Ginzburg-Landau equation. Phys. Lett. A.2005，347.

[4]Wazwaz M. Explicit and implicit solutions for the one-dimensional cubic and quintic complex Ginzburg-Landau Equations. App. Math. Lett，2006.

[5]李本图，李栋龙.Ginzburg-Landau方程的吸引子及其Hausdorff维数估计[M].广西工学院学报，2006.

【作者简介】

张燕（1987～），女，汉族，山东齐河人，博士研究生。研究方向：应用数学。

陈兆蕙（1984～），女，汉族，广东广州人，硕士研究生，副教授。研究方向：应用数学。