“五家共井”问题的算法实现

程璞

摘 要：我国是最早研究不定方程的国家之一，最古老的不定方程问题是《九章算术》中的“五家共井”问题。本文通过对“五家共井”问题的算例分析、算法描述及上机实践，将这一古老数学问题与计算机技术相结合，让学生感受算法学习的巨大作用。

关键词：数学;不定方程;算法

不定方程是数学数论的一个分支，它有着悠久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。我国是最早研究不定方程的国家之一，最古老的不定方程问题是《九章算术》中的“五家共井”问题，比古希腊丢番图方程早300多年，继《九章算术》之后的《张丘建算经》中对不定方程的论述体现了很高的水平，书中的“百鸡问题”是一个影响至今的不定方程问题，另外，《孙子算经》中的“物不知数”问题等都是在这方面的杰出成果，体现了中国古代数学的伟大成就，是世界数学史中的瑰宝！

“物不知数”与“百鸡问题”在《普通高中课程标准实验教科书（苏教版）》（必修3）中以例题或习题的形式出现，下面以《九章算术》中的“五家共井”问题为例谈不定方程的算法实现。

问题：“今有五家共井，甲二绠（提水用的井绳）不足如乙一绠，乙三绠不足如丙一绠，丙四绠不足如丁一绠，丁五绠不足如戊一绠，戊六绠不足如甲一绠，各得所不足一绠，皆逮，问井深绠长几何。”

这道题译成白话文是：有一口甲、乙、丙、丁、戊五家共用的水井，不知道井有多深。……