一类三阶三点边值问题正解的全局结构

张亚莉

(西北师范大学 数学与统计学院,甘肃 兰州 730070)

1 引言及主要结果

三阶常微分方程边值问题在流体力学,生物学和天文学等学科中的应用日益广泛,逐渐引起了许多学者的关注。对其正解存在性的研究,目前已有一些结果[1-8]。特别地,在文献[1]中,Yao和Feng运用上下解方法研究了三阶两点边值问题

(1)

在f:[0,1]×R→R连续且满足一定条件的情况下,证明了问题(1)至少存在一个正解。在文献[2]中,Torres运用锥拉伸与压缩不动点定理研究了非线性项f满足超线性与次线性情形时,三阶三点边值问题

(2)

值得注意的是文献[1-2]虽然获得了解的存在性结果,但由于所用工具的局限,并没有得到关于正解集全局结构的任何信息。基于此,本文运用Rabinowitz全局分歧定理获得

(3)

正解解集的全局结构,其中r是一个正参数。若问题(2)中α=0，a(t)=1,此时问题(2)可退化为问题(1);若问题(3)中r=1,问题(3)可退化为问题(2),因此本文改进和推广了文献[1-2]中的结果。

本文总假定：

(H1)a:[0,1]→[0,∞)连续,且在[0,1]的任意子区间上不恒为0；

(H2)f:[0,1]×[0,∞)→[0,∞)连续且f(t,0)=0；

记λ1是线性特征值问题

(4)

的一个主特征值,φ1是λ1对应的非负特征函数。

本文主要结果如下：

定理1.1设条件(H1)—(H3)成立。假设下列条件之一成立：

推论1.2设条件(H1)—(H3)成立。假设下列条件之一成立：

则问题(3)至少存在一个正解。

2 预备知识

引理2.1[10](Rabinowitz全局分歧定理)设是Banach空间,考虑如下方程

x=μLx+N(μ,x),μ∈R,x∈E,

(5)

假定：

(A1)算子L:E→E为线性紧算子；

记C(μ0)为方程(5)的非平凡解集的闭包中包含点(μ0,0)的连通分支,则下列两种情形之一出现：

(i)C(μ0)无界；

引理2.2[11](Krein-Rutman定理)设是Banach空间,K⊂X是一个锥且满足K0≠∅。设T∈L(E)是一个紧的强正算子,则T谱半径r(T)>0,r(T)是T的一个具有正特征函数φ∈K0的简单特征值,并且再没有T其他正特征值。