TI图形计数器在线性回归中的应用探究

邝国均

【摘要】  本文主要内容是：通过TI图形计算器在高中数学线性回归分析中的应用，展示“TI图形计算器”其丰富的数学功能，完善的数学设计，不但能够满足常规的数学学习和数学教学的需要，而且以其方便于携带、操作简单等特点，为学生提供了一个良好的“玩数学”的环境，成为高中学生手中“流动的数学实验室”。利用图形计算器，学生可以随时随地的研究数学，让学生沉浸在“玩数学”的乐趣中。在某种意义上讲，TI图形计算器成为学生手中的一个认知数学的工具，一个了解数学规律的窗口。

【关键词】  回归分析方法 TI图形计算器 一元线性回归分析 多元线性回归分析

【中图分类号】  188                  【文献标识码】  A 【文章编号】  1992-7711（2020）21-188-02

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一、回归分析方法概述

（1）回归分析是一种建立统计观测值之间的数学关系的方法，它通过自变量的变化来解释因变量的变化，从而由自变量的取值预测因变量的可能值，它是概论、统计学中的重要组成部分。

（2）线性回归分析方法

包括：一元线性回归，多元线性回归。

（3）线性回归模型的检验

判定系数r2——用来判断线性回归方程的拟合优度。通常认为当r2大于0.5时，所得到的回归直线拟合得比较好，而当r2小于0.5时，所得到的线性回归直线很难说明变量之间的依赖关系。可以说r2越大，函数拟合效果越好。

（4）回归预测的步骤

第1步，获得自变量和因变量的观测值

第2步，绘制X-Y散点图

第3步，求出含未知参数的回归方程

第4步，观测回归方程的拟合优度

第5步，进行预测

二、一元线性回归分析

一元线性回归模型描述的是两个变量之间的线性相关关系。假设有两个变量x和y，x为自变量，y为因变量。一元线性回归模型的基本结构形式为y=a+bx（a和b为待定参数）

例1：为了研究各某个连锁饮品店季度销售额与店铺附近地区居民人数之间的关系，随机抽取了十个分店的样本，得到的数据如下：

利用TI图形计数器的列表与统计功能（Statistics with List Editor）输入数据和绘制XY散点图分别得到：图（1）

进行函数拟合得到一元线性回归模型：如图（2）、图（3）所示

结果如下：

一元线性回归模型为：y=6.000000+5.000000x

回归分析结果为：r=0.950123，r2=0.902734，说明所得到的回归直线拟合得较好。

预测作用：当我们想要预测区内大学生人数为1.9万的店铺的季度销售额时，只要输入y2（1.9），如上图：y2（1.9）=15.500000万元

对于预测结论的效果如何，可以指导学生与实际结果进行比较，从而修改函数模型，以得到最好的结果。

三、多元线性回归分析

在多变量的系统中，除了在某两个变量之间存在着相互作用和影响而发生某种相关外，在若干个（多于两个）变量之间也存在着相关影响、相互关联的情况。因此，多元回归模型更带有普遍性的意义。假设某一因变量y受k个自变量x1，x2，…，xk的影响，那么，多元线性回归模型的结构形式为：Y=a+b1X1+b2X2+…+bkXk .

多元线性回归预测步骤

第1步，获取备选自变量和因变量的观测值。

第2步，从备选自变量中选择合适的自变量。常用方法有：

最优子集法

第3步，确定多元线性回归方程中的系数，判断回归方程的拟合优度。

第4步，根据回归方程进行预测。

例2：一家服装零售店将其连续18个月的员工薪酬、库存占用资金情况、广告投入的费用、销售额等方面的数据作了一个汇总表格。该服装店的管理人员试图根据这些数据找到销售额与其它三个变量之间的关系，以便为未来的预算工作提供参考。试根据这些数据建立回归模型。如果未来某月员工薪酬总额为27万元，库存资金额为150万元，广告投入预算为45万元，试根据模拟的回归模型预测该月的销售额。采样数据如下表：

利用TI图形计数器的列表与统计功能（StatisticswithListEditor）

输入数据得到：

分别拟合各种变量之间的关系：

①销售额与库存资金之间的关系及回归方程的拟合优度（此时，r2=0.890573）

②销售额与广告投入之间的关系及回归方程的拟合优度（此时，r2=0.837430）

③销售额与员工薪酬之间的关系及回归方程的拟合优度（此时，r2=0.709632）

④销售额与库存资金、广告投入之间的关系及回归方程的拟合优度（此时，r2=0.9577330）

⑤销售额与广告投入、员工薪酬之间的关系及回归方程的拟合优度（此时，r2=0.869615）

⑥销售额与库存资金、员工薪酬之间的关系及回归方程的拟合优度（此时，r2=0.898492）

⑦销售额与库存资金、广告投入、员工薪酬之间的关系及方程的拟合优度（此时，r2=0.957480）

由于④與⑦的拟合后的回归方程中的R2都很接近，为了从中得到最好的拟合效果，我们再对④与⑦分别进行多元线性回归分析：

采用最优子集法作为备选自变量筛选

分析比较结果表明：虽然④与⑦的回归分析中的R2≈0.957，但④的AdjR2（调整后的R2）比⑦的大，所以库存资金和广告费用为自变量的多元线性回归方程效果最好。此时，回归方程为：

y=86.953190+7.108925X1+13.683731X2（其中，X1，X2分别为库存资金和广告费用）

预测作用：未来某月员工薪酬总额为27万元，库存资金额为150万元，广告投入预算为45万元，试根据建立的回归模型预测该月的销售额为：

y=86.953190+7.108925×150+13.683731×45≈1769.059835万元

在数学学习活动中，以问题为载体，通过解决实际问题，既培养了学生应用数学的意识，同时也通过在实践的学习过程中，培养了学生的创新意识和实践能力。学生通过实际问题的分析，利用图形计算器，自己动手，进行抽象，简化，发现数学规律，建立数学模型，从而获得实际问题的解决，在这一过程中，离不开现代信息技术对数据的处理和分析。TI图形计算器由始至终作为学生学习的一个学习工具，参与了解决问题的各个阶段，帮助学生以数学的方式去理解周围的世界。

[ 参  考  文  献 ]

[1]徐勇，高建彪.借助图形计算器CAS功能解高考题[J].中国数学教育（高中版），2012（11）：39-44.

[2]徐勇，高建彪.一例教材中的函数模型拟合之路的探索[J].中国数学教育（高中版），2014（11）：56-58.

[3]章建跃.理解数学理解学生理解教学[J].中国数学教育（高中版），2010（12）：3-7，15.