渗透整体思想，巧解数学难题

马俊

整体思想是最重要的数学思想之一，也是优化数学解题的重要途径.在实际教学中，很多问题，如果从局部出发是很难解决的，而应用整体思想来解则会省去很多中间步骤，达到简化计算的目的.通过日常的研究以及实际教学经验，我对整体思想的应用方法进行以下总结，希望能为广大教师的教学工作提供借鉴.

一、整体代换，简化过程

审题时，我们首先关注的是已知条件以及求解内容.通过观察和对比，我们就可能找出已知条件和结论之间的对应关系，从而整体代换，达到简化计算的目的.

例已知a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，且abc=24，求abc+bca+cab-1a-1b-1c的值.

根据已知条件，可知有a、b、c、d四个未知数，也有四个式子，由此完全可以进行对a、b、c、d四个未知数进行求解.但很显然，这种方法的计算量是非常大的.求解时，由于已知条件给出的前3个式子中都有d2，那么a、b、c两两之间的差值就很容易求出来了.然后对结论进行变形：abc+bca+cab-1a-1b-1c=a2+b2+c2abc-bc+ac+ababc=12abc（2a2+2b2+2c2-2bc-2ac-2ab）=12abc[（a2-2bc+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）]=12abc[（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2].至此，结论已经转变成了可以根据已知条件简单转化的整体形式.由a+d2=2007，b+d2=2008，c+d2=2009，可知a-b=-1，b-c=-1，a-c=-2，那么原式=12×24×（1+1+4）=18.

整体代换的适用范围非常广，大家一定要学会合理变形，实现条件和结论的双向转化.

二、整体变形，呈现规律

对于一些数值很大的计算来说，通过整体变形处理同样可以达到简化计算的目的.但变形也要通过观察和思考，按照正确的方法和方向进行，这样才能使整个式子呈现一定的结构和规律，否则就会适得其反.

如对于计算题99…9（2008个9）×99…9（2008个9）+199…99（2008个9），普通的计算方法是肯定不行的.通过观察，我……