一道中考题的思考

李琼华

一、题目呈现

已知：如图，在 中，∠C=900，AC=4cm，BC=3cm，点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为1cm/s;点 由 出发沿 方向向点 匀速运动，速度为2cm/s;连接 .若设运动的时间为 （0?t?2），解答下列问题：

（1）当 为何值时，

（2）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

二、题意分析

1.已知条件：（1）△ABC为直角三角形，且两直角边的长度分别是3cm和4cm，可以联想到勾股定理，从而求出AB=5cm;（2）知道点P、Q的運动方向和速度，当时间为t秒时，可以表示线段AQ=2tcm，BP=tcm，进一步得到AP=（5-t）cm。

2.所求问题：（1）当t为何值时， ？

（2）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？

三、题目解析

（1）要满足PQ∥BC，学生可能会想到“角—平行”或“相似—平行”（即边的关系解决平行），但从已知条件分析，点的运动转化后是线段的长度，所以从边的角度思考到线平行，那么通过三角形的相似可以实现。

（2）这个问题的难度明显增加，主要考查学生思维的全面性。要使△APQ是等腰三角形，要分情况考虑：因为P、Q两点是运动的，而点A却是一定点，那么思考时，将“动”转为“静”，以“静”制“动”，所以考虑以A为顶角顶点时、以A为底角顶点时两个方面，即当AP=AQ时;当QA=QP时;当PA=PQ时。

①若点A为顶角顶点即当AP=AQ时

四、思想方法总结提炼

1.通过此题解决，总结得出动点问题体现了以下数学思想：分类讨论思想、数形结合思想、转化思想、函数思想、方程思想等;

2.解题思路：“动”中求“静”     化“动”为“静”   以“静”制“动”（在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路，这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质）。

3.解题步骤：审（读题目、找条件、分析运动变化的形式及过程，思考运动初始状态时几何元素的关系，确定可以求出的量）;

定（确定动点位置，画出符合题意的图形，寻找定点，化动为静）;

写（根据条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需的条件用含t的代数式写出来）;

列（利用特殊图形的性质或相互关系，寻找等量列出方程或函数关系求解问题）

分类（分析特殊图形的性质，考虑是否要分情况讨论）

五、题目拓展延伸

（1）当 为何值时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？

（2）如图①，设ΔAQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式;（在点P、Q运动过程中，ΔAQP的形状和大小都会发生变化，那么它的面积会发生着怎样的变化呢？能否建立面积与t之间的变化关系式呢？引导学生将问题再次改变）

（3）如图②，连接PC，并把ΔPQC沿QC翻折，得到四边形PQP/C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP/C为菱形？若存在，求出此时t的值;若不存在，说明理由。

用总结的方法解决逐级变式延伸的题目，达到举一反三的目的，实现“一道通一类”！