试题解析

何婷

【问题】

（2017本溪）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=与x轴交于A，B两点，点B（3，0），经过点A的直线AC与抛物线的另一交点为C（4，），与y轴交点为D，点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点（不与点A，C重合）.

（1）求该抛物线的解析式;

（2）过点P作PE⊥AC，垂足为点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，设点P的横坐标为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式;

（3）点Q在拋物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标.

【背景】

1.试题出处：本题选自2017年本溪市中考数学试题的26题，是一题三问的二次函数代几综合题，第一问为待定系数法求二次函数表达式，第二问为运用相似求两个参数之间的关系，第三问为直角三角形存在性问题，此题适合于初三学生在中考综合复习时使用.

2.涉及知识点：待定系数法求一次函数、二次函数表达式;三角形相似;等腰直角三角形性质、三角形全等、垂直定义.

3.涉及思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、模型思想、类比思想.

4.题目难点：

（1）学生代数几何综合解题能力较弱，难以寻找解题思路;

（2）学生将复杂问题转化为已学习的基本模型问题的能力较弱.

【任务】

学生经过了初中三年的学习，已经掌握了三角形全等、三角形相似及二次函数的相关知识，能够熟练运用全等的性质和判定解决问题，能够运用三角形相似求线段长、确定两个参数之间的关系，也具备了一定的推理及运算能力，但学生将代数、几何知识综合运用的能力较弱，故讲解时应注重解题策略分析、方法归纳，引导学生逐步具备将复杂问题转化为已学习的基本模型问题的意识尤为重要。

【分析】

第一问待定系数法确定二次函数表达式学生掌握较好，这里就不再讲解，提醒学生计算一定要准确，表达式是解答后面两问的前提。

审题及解题策略分析

问题（2）过点P作PE⊥AC，垂足为点E，作PF∥y轴交直线AC于点F，设点P的横坐标为t，线段EF的长度为m，求m与t的函数关系式.

抓住已知和隐含条件分析解题思路：

解题过程如下：

问题（3）点Q在抛物线的对称轴上运动，当△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出符合条件的点P的坐标.

最后一问对于大多数学生来说相对较难，为了让学生理解数学本质、抓住知识间内在联系，掌握解题方法，应先从下面这道题由浅入深引导学生思维：

如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，1），点B坐标为（5，3），在x轴上找一点C使得△ABC是直角三角形，求点C坐标.

初三学生已经具备了分类讨论意识和分析能力，很容易想到此题需分类讨论直角三角形的直角顶点，进而引出：

两线一圆得坐标：

（1）若∠A为直角，过点A作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C;

（2）若∠B为直角，过点B作AB的垂线，与x轴的交点即为所求点C;

（3）若∠C为直角，以AB为直径作圆，与x轴的交点即为所求点C.（直径所对的圆周角为直角）

重点还是如何求得点坐标，C1，C2求法相同，以C2为例：

构造一线三直角模型：

C3，C4求法相同，以C3为例：

构造一线三直角模型步骤：

第一步：过直角顶点作一条水平或竖直的直线;

第二步：过另外两端点向该直线作垂线，即可得一线三直角相似.

接下来，我们来解第（3）问，△OPQ是以OP为直角边的等腰直角三角形，因为限定了一条直角边，此时只需分两种情况，即∠OPQ为直角或∠POQ为直角，由于等腰的条件存在，因此一线三直角相似模型就变成了一线三直角全等模型，由对应边成比例列方程，变为更为简单的由对应边相等列方程，应用的模型为：

【目的】

本题是利用几何图形的性质结合代数知识来考察的一道代几综合题，最后一问是等腰直角三角形存在性问题，用到了几何中常见的一线三直角模型，纵观辽宁省历年各市中考试题中，此类型题屡见不鲜，例如：近三年有2019阜新中考第22题、2019铁岭中考第26题、2018朝阳中考第25题、2018沈阳中考第25题、2017本溪中考第26题、2017阜新中考第22题都考过此类型，做题时要根据直角顶点确定与否进行分类讨论，构造三垂直模型，借助三角形全等对应边相等列方程求解.对于构造三垂直来说，直角顶点已知的和直角顶点未知的完全就是两个题目，直角顶点未知也许能画出大概位置，但如何能画出所有情况，才是问题的关键，其实只要明确一点，画出其中一种草图构造出三垂直后，表示出一组对应边，根据相等关系列方程求解即可.事实上，无论直角顶点确定与否，所有的情况都可以归结为同一个方程：OM=QN或PM=QN，故只需在用点坐标表示线段时加上绝对值，便可计算出可能存在的其他情况.由此可以拓展到一般直角三角形存在性问题的处理，同样构造三垂直，区别于等腰直角构造的三垂直全等，没了等腰的条件只能得到三垂直相似，再利用对应边成比例列方程求解即可.题型的变化在于动点或许在某条直线上，也可能在抛物线上等.