“开放”情境：促进学生深度理解

张鸿森

【案例背景】——经典问题，典型错误

抽屉原理是人教版数学六年级上册数学广角内容，《抽屉原理》是大家公认的经典课题。然而，在实际教学中，一线教师往往会引导学生从“平均分”角度理解，通过除法计算解决问题，结果使得学生在解决这类经典问题时错误率高，而且重复错误。比如：10个苹果放在9个抽屉里，总有一个抽屉至少放（  ）个苹果。学生学会的方法是“10÷9=1（个）……1（个）”，学生更容易理解接受的答案是“总有一个抽屉至少有1个苹果”，也就是把10个苹果平均分成9份，每份至少1个苹果，至多有“1+1=2个苹果”，这才是学生最真的思考结果。其实借助“开放”情境可以引导学生经历自主探索、比较分析、建立抽屉原理直观表象，有助于学生深度理解“总有”和“至少”的含义。

基于以上分析，笔者模仿朱国荣特级教师的思路设计了《抽屉原理》一课，主要通过“开放”情境，让学生经历梳理问题情境、比较分析、发现共性的过程，直观深入理解抽屉原理。

【原始情境再现与剖析】——“不理解”只能“记模型”

1 分铅笔：学生无法理解“至少”的含义

抽屉原理问题中的“至少”往往给孩子一种指向“少”的暗示，要想每个抽屉少放一点，学生通常会想到“平均分”的方法，自然会和除法建立联系，通过除法计算解决问题。

【片段回放】

出示例题：把4支铅笔放入3个抽屉中，总有一个抽屉至少放几支铅笔？

要求：独立解决问题，并和同桌交流你的想法。

预设1：列除法算式解答。预设2：逐一列举放的方法。

反馈1：4÷3=1（支）……1（支），1+1=2（支）。学生在讲解算式及思路时，普遍认为要每个抽屉放的少就要尽可能“平均分”，所以用除法计算。也有同学说兴趣班老师就是这样教的。

反馈2：4、0、0;3、1、0;2、2、0;2、1、1。学生的结果是有一个抽屉至少1支或0支。

在反馈的过程中没有学生画图解决问题，笔者只能顺应学生计算的方法生硬地讲解“总有”和“至少”的含义，整个过程学生都是被动地听，通过听讲解记住“除法计算”的模型，完全不能理解“至少”的含义。

2 问题剖析：“封闭”情境让学生思维停留在模仿和记忆层面

（1）“封闭”情境问题不能激发学生兴趣和挑战欲望，学生只需要用已有模型解决问题即可，不需要理解“总有”和“至少”的含义。

（2）学生用列举方法解决问题，教师没有帮助学生比较辨析，容易干扰学生除法计算结果，让学生的思维更模糊。

（3）教师顺应学生计算解题的方法生硬的讲解，是在用抽象的语言讲述抽象的问题，学生缺少自主探索、自主感悟，后续练习仍然只能是模仿。

【调整后情境及价值分析】——“激活思维”与“深度理解”

3 自主选择：激发学生兴趣，激活学生思维

到底什么情境能激发学生兴趣，激活学生思维，有利于学生自主建构、直观理解“总有”和“至少”的含义。笔者设计了两种分铅笔的方案让学生选择的情境。自主选择是学生的兴趣点，未提供结果的方案具有挑战性，需要学生自主探索、比较分析去寻找答案，笔者认为这就是“开放”情境。

【片段回放】

呈現情境：有4支铅笔。（1）小明直接拿了2支，开心走了。（2）老师把4支铅笔放入3个抽屉（抽屉是敞开的），等老师放好后小明选择一个抽屉里的拿走。

师：如果你是小明，你会选择方案（1）还是方案（2）？为什么？

A.无所谓    B.选方案（1）    C. 选方案（2）     D. 有所谓

讨论中，学生建议先梳理方案（2）有几种放法。（4、0、0;3、1、0;2、2、0;2、1、1）

师：用一句话告诉小明，为什么选择方案（2）不选择方案（1）？

生：选择方案（1）只能拿2支铅笔，选方案（2）至少拿2支铅笔。

师：方案（2）至少能拿到2支铅笔，是这样吗？我们一起来看看：

生：第一种方法可拿走4支铅笔，第二种方法可拿走3支铅笔，第三种、第四种方法可拿走2支铅笔。

师：不同的放法，什么在变？什么没变？

生1：不同的放法，每个抽屉里铅笔的数量在变化。

根据学生汇报小结：总有一个抽屉至少有2支铅笔。

师：这里的“至少”是什么意思？

生1：放得最多的一个抽屉至少放2支铅笔。

生2：我们可以画图理解：放得最多的一个抽屉至少放2支铅笔。

4 “开放”情境：促进学生深度理解

课程标准指出：教师的教学要以学生的已有知识和经验为基础;教师的教学要有利于激发学生的学习兴趣，有利于激活学生思维，引发学生数学思考。自主选择分铅笔方案是学生熟悉的情境，同时具有挑战性，需要学生静心思考，这些让学生深度理解抽屉原理变得自然且可能。

4.1 自主选择，激发学习兴趣

在片段中，教师提供的两种方案，让学生扮演小明自主选择，学生的学习兴趣马上起来了，积极举手，都想表达自己的选择想法。在这个环节中，教师没有及时评价，也没有肯定或否定学生的选择，让学生始终保持积极的好奇心，这就为学生后续的深入思考提供了保障。

4.2 完善方案，引发深度思考

学生充分经历探究过程才会有深刻体验。在新情境中，教师用“用一句话告诉小明，为什么选择方案（2）不选择方案（1）？”激活学生思维，引发学生思考，学生把目光聚焦到两种方案的比较上。要想得出选择方案的结果，学生必然要对方案（2）的四种具体放法进行深度思考，找寻出方案（2）相比方案（1）的优越性。学生经历比较过程发现方案（2）的四种放法中每个抽屉铅笔支数在变化，但总有一个抽屉里铅笔数多一些。同时，画图的方法可以直观比较四种放法最多的一个抽屉中铅笔支数，深刻感悟到“至少”是指最多的一个抽屉中“至少”有几支铅笔。学生经历列举比较和画图比较两层深度思考，直观、自然地理解了“总有”和“至少”的含义，笔者认为这就是深度学习。

（作者单位：浙江省杭州市申花小学）