问题导向结合数学建模在“数学物理方法”教学中的应用

王秋玲，张开银，刘乙飞，范 沁，崔北臣

（1.武夷学院机电工程学院，福建武夷山354300；2.阜阳师范大学物理与电子工程学院,安徽阜阳236037）

0 引言

数学物理方法是高等学校理工科专业的一门重要基础课，定位在高等数学和普通物理的基础上，以讲授求解数学物理问题的常用古典方法为主，同时注重介绍实际物理问题的数学建模应用。该课程与电动力学、量子力学、流体力学、热学、声学、工程等问题和理论有密切联系，目的是培养学生用数学语言表述物理问题、综合应用数学工具解决物理问题的能力，为学习后续专业课程和扩大数学知识面提供必要的数学基础[1]。它是以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法，主要包含复变函数、积分变换和偏微分方程等内容。其中，复变函数和积分变换主要是数学内容，知识点逻辑性强，涉及的物理学知识比较少，学生接受相对容易一些。而偏微分方程多起源于连续介质力学、传热学和电磁场理论，在介绍这些方程的时候，经典教材使用的物理学问题相对单一，呈现的物理学问题大都是理想化的，而且大都偏重于数学理论，强调偏微分方程的解析求解方法[2]。

教材中此类偏微分方程的定解问题包括泛定方程、初始条件和边界条件，求解方法随泛定方程和定解条件的变化差异极大[3-4]。以输运问题为例，教学过程中，往往从最基本的无限长均匀杆热传导方程开始，推演到二维、三维热传导方程，求解方法随逐步增加的限制条件完全不同。从行波法求解半无限长均匀杆温度分布问题开始，增加限制到第一、二和三类边界条件则需要用分离变量法求解，最后至非齐次方程的定解问题时需要用冲量定理法处理。尽管教材中的例题通常具有明确的物理意义，但是要从内容繁多，公式推导繁杂的数学推理及其数学表达式中看出所要表达的物理图像，不仅对学生的数学基础要求较高，还需要一定的专业知识基础。自1999年高等教育大规模扩招以来，高等教育已经完全转变为大众教育，多数高校扩招后学生的数学与物理功底已大不如从前。在重视数学理论的基础上，如何增强学生的学习兴趣，因材施教，提高教学和学习效果，是一个值得广泛而且深入研究的问题。

1 问题导向学习与数学建模培训相结合的策略

最近几年，慕课和翻转课堂等启发式教学得到了广泛认可，是当前教学改革的潮流，能够有效开发学生的自主学习潜能。而问题导向学习（Problem based learning，PBL）更是强调学生的中心地位，鼓励学生组成科研、学习小组，激励学生以团队形式就各种有意义的个案，比如科研难题、工程案例等，进行问题分析、解决和经验总结等。吴建成等人针对需要本硕衔接的课程教学，提出了PBL的十个问题表单并列举了解决具体问题的七个步骤[5-6]。问题导向学习可以高效激发自主学习能力、问题解决能力和协作交流能力。在问题导向学习中，学生是主体，问题是导向。该模式在一门课程中的应用能否成功，科学、生动、有趣的问题设计是关键，需要教师和教辅人员投入相当的精力和时间，考验非常大。

在大多数高校的人才培养方案中，数学物理方法一般安排在大二下学期开设。在这个阶段，学生已经学习了“高等数学”、“线性代数”、“大学物理”、“C程序设计”、“Matlab”、“计算物理”等相关知识，具备了数学建模和数值计算的基本能力，经过一定的培训可以参加全国大学生数学建模竞赛。在数学建模培训过程中，学生会接触到多种类型的物理、工程、统计等实际问题。特别是指导老师，经过多年的积累往往收集了大量的类型多样的案例，其中会有相当数量的案例与数学物理方法课程的相关知识点特别是偏微分方程相关。如果将这些案例进行分类整理，并补充一些来自生活实践的案例，丰富问题导向学习的案例库，既能增加课程的趣味性，提高学生的学习兴趣，也能消除学生的畏惧和消极心态，激发好胜心，使数学物理方法课程成为一门学生愿意学习并能为其所用的课程，达到事半功倍的学习效果。

以高教社杯全国大学生数学建模比赛题目为例，我们对2010年到2019年的题目进行了分析，发现能够与物理学和数学物理方法或多或少有一定的联系的题目有近10道。以这些题目为背景，教师可以根据教学需要进行一定的改造，从而变化出一定数量的个案，丰富问题导向学习的案例库供教学学习使用。当然，其中的个别案例与课程关联度不是很强，需要教师结合物理、工程等实际问题进一步提炼出更多更有趣更有意义的案例，比如结合学生的专业特点选取一些生产实践的实际问题作为应用案例。把这些实例与教学内容结合起来应用到课堂教学中去，使学生了解数学知识是怎样应用于实际，怎样解决实际问题，有利于打破书本与实际的界限，实现数学与应用物理学科之间相互渗透、交叉，紧密结合实际生产中的问题，综合运用数学理论分析和解决实际问题，形成“学”与“用”的良性循环。

在建立了融合数学建模训练的问题导向学习案例库的基础上，鼓励学生大胆学习并应用计算软件，例如C程序、Matlab、Orign和Excell等，将传统教学手段与计算机仿真相结合，改变只用符号和复杂数学公式教学的模式，使得学生对复杂、抽象和烦琐的数学物理问题具有更深刻的理解。

2 教学案例

以2018年的一道数学建模题“高温作业专用服装的设计”为例，探究在教学过程中以问题导向结合数学建模思维，培养学生应用数学方法解决实际问题的能力。在此，我们先对该案例做个简单重述。在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。为设计专用服装，将体内温度控制在37°C的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，需要利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况。如给定专用服装材料的某些参数值由表1给出，对环境温度为75°C、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度。建立数学模型，计算温度分布。

表1 防护服的物理属性

首先引导学生将负责的问题理想化，并将此问题近似为一维输运问题，也就是如图1所示的环境-热防护服-假人构成的系统。本问题考虑的环境温度较低，热辐射效应远小于热传递，因此其影响可以忽略不计。防护服各层之间、防护服内层与空气之间、空气层与假人皮肤之间的温度分布都是连续的，通过界面的热流通量连续[7]。

图1：空气层-高温作业专用服-假人皮肤层系统

该系统可用的输运方程（1）表示，而且系统密度、比热容以及热传导系数等均为位置依赖的参数。

系统显热容函数为

其中ρi、ci、di分别表示系统第i层材料的密度、比热容和厚度。系统热传导函数为

其中ki表示系统第i层材料的热传导系数。

系统的初始条件为

系统的边界为外壳层左边界面和假人皮肤层右边界面。假定系统两端界面均按照牛顿冷却定律散热[5]，即

其中Hshell和Hskin分别为壳层和假人皮肤层的热对流系数，uL和uR分别为外界环境温度和假人内部温度。

方程（1）～（6）构成了描述热防护服热量输运过程的定解问题，求解该定解问题可获得系统温度随空间和时间的分布。在Matlab软件工具箱中有个pdepe函数，可以用来求解上述偏微分方程。该函数求解形式形如式（7）的偏微分方程。

该式中第一项指显热容随空间时间的变化梯度；第二项指的是热量随空间时间的变化梯度；第三项指的是热源随空间时间的变化梯度。pdepe函数的调用格式为：sol=pdepe(m,@pdefun,@pdeic,@pdebc,x,t)，其中输入函数@pdefun指的是PDE的问题描述函数，@pdebc指的是PDE的边界条件描述函数，@pdeic指的是PDE的初始条件，输出函数sol指的是一个三维数组，sol(:,:，1)表示一维系统温度函数u的解。

在初始条件方程（4）中有u0=37°C，同时边界条件方程（5-6）中uL=75°C，uR=37°C。由于壳层材料和假人材料未知，在求解问题时参数Hshell和Hskin作为可调参数，并引导学生进行对比分析。调节参数Hshell和Hskin，获得问题的解，输出假人皮肤处温度随时间的变化关系，与实验测定的假人皮肤温度变化实验数据进行比较，确定最优参数值。图2是参数Hshell和Hskin取不同参数值时模拟得到的假人皮肤温度随时间的变化关系曲线。由图2可知，参数Hshell对曲线前期时间段的温度分布影响明显，而参数Hshell则对系统达到稳恒状态的后期温度分布影响明显。Hshell和Hskin取值为10和4.4时得到的模拟曲线与实验数据符合的非常好。

图2 假人皮肤温度随时间的分布

高温防护服的热传导过程是典型的输运方程定解问题。通过该案例的训练，不仅可以使学生学到有关的基础知识，而且可以引导学生通过对具体物理过程的具体分析，抓住主要因素、进行必要的简化近似、建立数学模型来求解和对比分析，从而对该过程有较深的理解。

3 教学效果评价

结合数学建模培训的问题导向学习在数学物理方法的教学中的作用，主要用于解决学生以下几个问题：学习被动、学时不足、学科交叉不突出和科学应用的思维欠缺。就像上文所述的，问题导向中的案例库是一个关键。构建有趣有意的案例库，能够触发学生的好奇心，吸引学生主动参与，课后多思考多练习，自然也就增加了课时。科学的教学效果评价，能够有助于教师和教学辅助人员更好地改进案例库，更好地调动学生的学习热情。

为此，可以从以下三个方面对基于数学建模培训的问题导向学习方法进行评价：①考查学生对知识点的掌握。这是一个短期效果的评价，一般在学期末课程结束的时候，通过考查考试等形式，检查学生对数学物理方法的整体认识和各个知识点的系统性理解和把握；②考查学生对数学物理方法相关知识的应用。这个可作为中期效果评价，一般在学习量子力学、材料力学等专业课的时候，调研学生对数学物理方法各个知识点在相关课程中的灵活应用情况，从而进一步反馈教学效果，反映学生对学科交叉知识的灵活运用；③考察学生的科学素养。这个一般在大学生毕业前做调研，重点从竞赛、毕业论文设计和职业发展等多个角度进行评价反馈。比如全国大学生数学建模竞赛可以直观地反馈问题导向学习结合数学建模培训的方法在数学物理方法教学中的作用。毕业论文设计更能够客观地反映数学物理方法在毕业设计中的应用程度，反映学生对该课程的掌握及其灵活应用解决问题的能力。

我们的调研发现，与传统教师主导、学生被动参与的教学模式相比，基于问题导向学习并结合数学建模培训思想和案例库的方法能使学生深刻地感受数学物理方法知识在实际学习和生活中的应用，增强学习兴趣。同时开展一定的数值模拟计算，将结果可视化，更直观地呈现出来，提高了教学效果，不仅使学生的数学物理方法学的比较扎实，而且在数学建模竞赛中也取得了良好成绩，一举多得，事半功倍。

4 结束语

本文以三大类方程中的输运方程教学为例，介绍了在教学中根据学生的专业特点把生活中的一些实际问题与知识点联系起来，教学中融入数学建模思维，将抽象的数学内容具体化，积极引导学生进行问题导向学习。这样可以使学生切实体会数学物理方法的应用价值，增强数学物理方法的学习兴趣和主动性，并提高学生应用数学知识分析和解决实际问题的能力。通过实践教学提高学生的学习兴趣，可以显著提升教学效果，达到事半功倍的良好效果。