Rota-Baxter q-3-李代数

林 丽 鑫

(牡丹江师范学院 数学科学学院, 黑龙江 牡丹江 157011)

目前, 关于李代数、 量子群、 Hopf代数、 量子空间的微分结构和微分算子的量子形式等研究已有许多结果[1-9]. 由于Rota-Baxter代数在概率学、 组合数学、 数论、 量子场等领域应用广泛, 因此讨论量子李代数的Rota-Baxter算子有一定的理论意义. 文献[10]给出了q-3-李代数的定义, 并对其结构进行了研究, 构造出一系列典型的q-3-李代数. 本文在文献[10]的基础上讨论q-3-李代数的权为λ的Rota-Baxter算子, 并给出Rota-Baxterq-3-李代数的定义, 从一些已知的代数结构中构造出Rota-Baxterq-3-李代数. 本文 F是特征为零的域,是整数集.

1 基本概念

定义1[10]设A是域 F上的向量空间, 如果3-元线性乘法[,,]q:A⊗3→A和映射Jq:A⊗5→F, 满足对任意xi∈A,i=1,2,3,4,5, 有

则称(A,[,,]q,Jq)为q-形变3-李代数, 简称q-3-李代数.

定义2[11]设λ∈F为固定的元素.

1) 若A为域 F上的向量空间, 〈,,〉:A⊗3→A为A的3-元线性运算, 则称序对(A,〈,,〉)为域 F上的3-元代数;

2) 如果线性映射d:A→A满足

则称d为3-元代数的权为λ的微分算子,A称为3-元微分代数;

3) 如果(A,〈,,〉)上的线性映射P:A→A, 满足对任意的x1,x2,x3∈A, 有

则称P为3-元代数的权为λ的Rota-Baxter算子. 记(A,〈,,〉,P)是权为λ的3-元Rota-Baxter代数.

定义3设(L,[, ,]q,Jq)为域 F上的q-3-李代数, 对任意的x1,x2,x3∈L, 如果线性映射P:L→L满足

则称P是q-3-李代数的权为λ的Rota-Baxter算子. 记(L,[,,]q,Jq,P)为Rota-Baxterq-3-李代数.

2 由Rota-Baxter李代数实现Rota-Baxter q-3-李代数

首先讨论由Rota-Baxter李代数(L,[,],P)实现Rota-Baxterq-3-李代数.

[xi,xj,xk]qf=q2i-j-kf(xi)[xj,xk]+q2j-k-if(xj)[xk,xi]+q2k-i-jf(xk)[xi,xj],

(5)

Jq:L⊗5→F,Jq(xi,xj,xs,xt,xr)=qs+t+r.

定理1设(L,[,],P)是权为λ的Rota-Baxter李代数,f∈L*(L的对偶空间)满足∀xi,xj∈L,f(xi,xj)=0, 则P是q-3-李代数(L,[,,]qf,Jq)的权为λ的Rota-Baxter算子当且仅当P满足∀xi,xj,xk∈L, 有

其中IdL:L→L为恒等映射.

证明: 首先， 由引理1, 对任意的xi,xj,xk∈L, 三元运算[,,]qf满足式(5), 下面证明式(6)成立：

由式(4), 得

证毕.

其次， 讨论由Rota-Baxter李代数(A,[,]k,P)实现Rota-Baxterq-3-李代数. 设A是域 F上的交换结合代数, {Lr,Mr|r∈}是……