集合问题求解中的“核心素养”

刘存德

借助集合概念的形成和集合工具性的应用，可以培养同学们数学抽象、逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养。

一、集合基本概念形成中的“素养”

素养：研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后看元素的限制条件。根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性。

二、集合基本关系探究中的“素养”

例2已知集合A={x|-1＜x＜3}，B={x|-m＜x＜m}，若B⊆A，则实数m的取值范围为( )。

A.(-∞，1] B.(-∞，3]

C.[-1，+∞) D.(0，1]

解：当-m≥m，即m≤0 时，B=Ø，显然B⊆A。

当m＞0时，利用B⊆A，在数轴上画出两个集合，如图1所示。

图1

综上所述，实数m的取值范围为(-∞，1]。应选A。

素养：判断集合之间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确。已知两个集合之间的关系求参数，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系(要注意区间端点的取舍)，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观求解。在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解。

三、集合运算求解中的“素养”

例3设全集U=R，集合A={x|-3＜x＜1}，B={x|x+1≥0}，则∁U(A∪B)=( )。

A.{x|x≤-3或x≥1}

B.{x|x＜-1或x≥3}

C.{x|x≤3}

D.{x|x≤-3}

解：因为集合B={x|x≥-1}，A={x|-3＜x＜1}，所以A∪B={x|x＞-3}，所以∁U(A∪B)={x|x≤-3}。应选D。

素养：对于集合的交、并、补集运算，要从集合中元素的构成入手，先化简集合再进行运算，有时借助数轴、坐标系或Venn图可使问题简单化。

四、利用集合的概念及运算求参数中的“素养”

②当B=Ø，由Δ＜0，解得a＜-1。

综上所述，所求实数a的取值范围是(-∞，-1]∪{1}。

素养：利用集合的运算求参数，一般先利用观察得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解。在求出参数后，要注意结果的验证(满足集合元素的互异性)。

五、集合新定义求解中的“素养”

解：依据题设运算和16 为偶数，可得集合M={(a，b)|a*b=16，a∈N*，b∈N*}={(1，16)，(2，8)，(16，1)，(8，2)，(1，15)，(15，1)，(3，13)，(13，3)，(7，9)，(9，7)}，共有12个元素，其真子集个数为212-1。应选C。

素养：对于新定义的集合问题，要认真阅读题意，理解新定义的含义，利用新定义将集合问题转化为集合间的关系或集合的有关运算，或直接利用新定义对问题求解。