集合与函数常见典型考题赏析

张文伟

题型1：集合概念与集合间的基本关系

(1)与集合概念有关问题的求解策略：①确定构成集合的元素是什么，即确定性。②看这些元素的限制条件是什么，即元素的特征性质。③根据元素的特征性质求参数的值或范围，或确定集合中元素的个数，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。(2)判断集合间关系的常用方法：列举法，结构法，数轴法。(3)集合的子集、真子集的个数：含有n(n∈N*)个元素的集合有2n个子集，有2n-1 个非空子集，有2n-1 个真子集，有2n-2个非空真子集。

例1设集合A={0，1，2，3}，集合B={x|-x∈A，1-x∉A}，则集合B中元素的个数为( )。

A.1 B.2

C.3 D.4

解：若x∈B，则-x∈A，故x只可能是0，-1，-2，-3。当0∈B时，1-0=1∈A；当-1∈B时，1-(-1)=2∈A；当-2∈B时，1-(-2)=3∈A；当-3∈B时，1-(-3)=4∉A。所以B={-3}，故集合B中元素的个数为1。应选A。

跟踪训练1：设集合M={x|x=2m+1，m∈Z}，P={y|y=2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a=x0+y0，b=x0y0，则( )。

A.a∈M，b∈P

B.a∈P，b∈M

C.a∈M，b∈M

D.a∈P，b∈P

提示：设x0=2n+1，y0=2k，n，k∈Z，则x0+y0=2n+1+2k=2(n+k)+1∈M，x0y0=2k(2n+1)=2(2nk+k)∈P，即a∈M，b∈P，应选A。

题型2：集合的基本运算

这类问题的求解思路是：先化简集合，再由交集、并集、补集的定义求解。求解的思想是：数形结合思想的运用，即利用数轴、Venn图等。

例2已知集合A，B均为全集U={1，2，3，4}的子集，且∁U(A∪B)={4}，B={1，2}，则A∩(∁UB)=____。

解：由题意可知，A∪B={1，2，3}。由B={1，2}，可 得∁UB={3，4}，所 以A∩(∁UB)={3}。

跟踪训练2：已知集合A={x|-2≤x＜3}，B={x|x＜-1}，则A∩(∁RB)=____。

解：因为B={x|x＜-1}，则∁RB={x|x≥-1}，所以A∩(∁RB)={x|-2≤x＜3}∩{x|x≥-1}={x|-1≤x＜3}。

题型3：由集合间的包含关系求参数

这类问题不能忽视空集的情形，当集合中含有参数时，需要分类讨论。由集合间的包含关系求参数的方法：①当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；②当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点。

例3已知集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|1＜x＜m}(m＞1)，且B⊆A，则实数m的取值范围是____。

解：由B⊆A，结合题意，画出数轴，如图1所示。

图1

由图可知，m≤4。

因为m＞1，所以1＜m≤4。

跟踪训练3：已知集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx+1=0}，BA，求实数m的值。

题型4：与集合有关的创新问题

以集合为背景的创新问题是高考命题的一个热点，这类题型常以问题为核心，考查考生探究、发现的能力，常见的命题形式有新定义、新运算等。对于新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决。对于这类选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解。

例4已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0}，B={1，3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}。则A*B中的所有元素之和为( )。

A.15 B.16

C.20 D.21

解：由x2-2x-3≤0，可得-1≤x≤3。因为x∈N，故集合A={0，1，2，3}。由A*B={x|x=x1+x2，x1∈A，x2∈B}，可 得A*B中的元素有0+1=1，0+3=3，1+1=2，1+3=4，2+1=3(舍去)，2+3=5，3+1=4(舍去)，3+3=6，所以A*B={1，2，3，4，5，6}，可得A*B中的所有元素之和为21。应选D。

跟踪训练4：定义集合M与N的新运算：M⊕N={x|x∈M或x∈N且x∉M∩N}，则(M⊕N)⊕N=( )。

A.M∩NB.M∪N

C.MD.N

提示：由定义可知，M⊕N表示图2 中的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N。

图2

由于(M⊕N)⊕N表示x∈(M⊕N)或x∈N且x∉(M⊕N)∩N的所有x的集合，(M⊕N)∩N表示N上的阴影部分，因此(M⊕N)⊕N=M。应选C。

题型5：求函数的定义域

(1)常见函数定义域的基本要求：分式函数中分母不等于0，偶次根式函数的被开方数大于或等于0，y=x0的定义域是{x|x≠0}。(2)求抽象函数的定义域的策略：若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域。(3)求函数定义域应注意的问题：不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接。

题型6：已知函数的定义域求参数

已知函数的定义域求参数问题的解题步骤：①调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；②根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围。

题型7：函数的表示法

函数的表示方法有三种，即解析法、列表法和图像法。同一个函数可以用不同的方法表示。

题型8：分段函数

分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数。分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集。

题型9：函数的最值

函数最值存在的两个结论：①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得；②开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值。求函数最值的常用方法：f(x)≥a恒成立⇔f(x)min≥a，f(x)≤a恒成立⇔f(x)max≤a，解题时，要务必注意“=”的取舍。

题型10：函数的奇偶性及图像特征

函数奇偶性的四个重要结论：①如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0；②如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|)；③既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)=0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集；④奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性。与函数奇偶性有关的几个对称性的结论：若函数y=f(x+a)为偶函数，则函数y=f(x)关于x=a对称；若函数y=f(x+a)为奇函数，则函数y=f(x)关于点(a，0)对称；若f(x)=f(2a-x)，则函数f(x)关于x=a对称；若f(x)+f(2a-x)=2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称。

例10已知函数f(x)为偶函数，且当x＜0 时，f(x)=x+1，则 当x＞0 时，f(x)=____。

解：当x＞0时，-x＜0，可得f(-x)=-x+1。又f(x)为偶函数，所以f(x)=-x+1。

跟踪训练10：已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是_____。

题型11：函数的周期性

题型12：函数单调性的应用

函数单调性的应用的常见题型有：判断函数的单调性、求函数的单调区间；利用函数的单调性比较大小；解函数不等式；求参数的取值范围。

题型13：函数最值的求法

题型14：函数奇偶性的判断及应用

判断函数奇偶性常见的三种方法：①定义法，先确定定义域，再计算f(-x)，最后确定f(x)与f(-x)的关系。②图像法，由f(x)的图像关于原点对称，可知f(x)为奇函数，由f(x)的图像关于y对称，可知f(x)为偶函数。③性质法，设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。

B.f(80)＜f(11)＜f(-25)

C.f(11)＜f(80)＜f(-25)

D.f(-25)＜f(80)＜f(11)

提示：因为奇函数f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[-2，0]上也是增函数。又因为函数f(x)满足f(x-4)=-f(x)，所 以f(x-8)=-f(x-4)=f(x)，所以函数f(x)为周期函数，且周期为8。因此f(-25)=f(-1)＜f(0)=f(80)＜f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1)。应选D。

题型15：函数性质的交汇应用

函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常将它们综合在一起命题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主。这类问题多以选择题、填空题的形式出现。