基于量纲分析的糙条高度计算方法

张红红，牧振伟，李凡琦，贾萍阳，孙德旭

(新疆农业大学水利与土木工程学院，新疆 乌鲁木齐 830052)

近年来，诸多学者针对溢洪道导流方面进行了大量研究[1-3].现有的弯道导流措施多采用导流墩[4]、导流栅[5]、丁坝[6]等，试图在设定的距离内调整、控制弯道流态及横向环流的产生，而对于大宽深比弯道导流措施研究得较少.

解决一个复杂问题，除了需要理解具体问题的物理理论，还需要掌握与物理概念密切相关的量纲分析方法和相似论[7].周建银等[8]通过量纲分析建立了量纲-衰减长度的经验公式，并采用系列数值试验的结果率定了该经验公式.同期，周建银等[9]又在以往研究的基础上，针对弯道出流横向流速衰减公式忽略横比降的局限，推导出考虑横比降影响的横向流速发展的解析解.丁法龙等[10]基于量纲分析的方法，结合水头损失比的定义得到沿程压力分布的回归预测模型，为滴灌系统水力计算的简化提供参考.CENGEL等[11]在研究管流摩擦阻力问题的过程中，使用量纲分析并建立了摩擦剪切力方程，巧妙地通过分析粗糙度系数ε/D与雷诺数Re之间的关系，找到了摩擦剪切力的解析解.李凡琦等[12-13]基于正交设计原理，对布置糙条消能工的溢洪道进行正交试验，指出糙条高度为主要影响因素，这也是文中将糙条高度作为研究对象的主要原因.

文中基于新疆“635”溢洪道整治工程原型进行研究，对研究得到的糙条布置方法进一步推广；采用量纲分析建立糙条高度的数学模型，通过正交试验对公式系数进行率定，并在试验分析过程中建立一套针对导流效果的评价方法.

1 量纲分析

1.1 量纲分析的基本原理(Π定理)

1914年，BUCKINGHAM[14-15]发表了一个有关量纲分析的重要定理，由于论文中量纲一的量用希腊大写字母Π表示，故于1922年被美国学者BRIDGMAN在其专著Dimensional analysis[16]中命名为Π定理.

Π定理可以表达为：设有一个物理关系f(s1，s2，s3，…，sn) = 0，由一组量纲不同的物理量s1，s2，s3，…，sn组成；设在这组物理量的量纲中有j个量纲是相互独立的，并且选为基本量纲，这个物理关系一定可以用k=n-j个量纲一的量Π1，Π2，…，Πk完全表示出来，即

f(Π1，Π2，Π3，…，Πk)=0,

(1)

Π定理给出了构造量纲一的Π的一般方法，在此基础上人们总结出一个简单的6步法，有时也称之为重复参量法[7].

1.2 量纲分析模型

有关弯道急流的消能和导流方面的物理问题处理起来相当复杂，影响因素也较多，各因素相互联系紧密.为了对这些问题在物理方面有较好了解，采用重复参量法对糙条平均高度hL进行多次推导，最终得到各影响因素之间较好的标度律和相似关系.具体推演过程如下.

1) 找准问题的所有参量.影响hL的参量有8个，分别为弯道进口水力半径RL、弯道进口流速v、弯道曲率半径R、流体密度ρ、动力黏性系数μ、重力加速度g、糙条布置角度θ(糙条中心所在横断面与其之间的夹角，rad)、糙条布置间距与弯道弧长之比Δl/L.

需要说明的是以上各参量相互独立，不能用其他量表示，同时以上参量需要反复思考，才能确定是否能够客观全面地反映物理问题.弯道曲率半径R在反映弯道特征尺寸方面优于弯道宽度B和弯道进口水深h0这2个参量，这不仅减少了参量个数，而且在反映弯道特征尺寸方面打破弯道宽度的局限，使其更具有普适性.

通过多次建立模型并对比推导结果发现，选用参量弯道进口流速v比选取流量Q优越，这是因为水力学方面已经命名的量纲一的量大多数都和流速之间存在密切关系，亦即流速较流量而言更为基础，例如水力学中最常用的雷诺数Re和弗劳德数Fr均和流速直接相关.

在糙条布置参数方面，横向上，由于糙条是全断面布置，因此糙条横向长度这一参量可以忽略；垂向上，对于宽浅弯段溢洪道，hL占据糙条参量的主导地位，因此公式推导的主要方向就是研究糙条高度与各参量之间的关系；纵向上，糙条向下游的倾斜程度，即布置角度θ应与弯道的弯曲率进行综合考虑，而反映弯道弯曲率的参量是弯道曲率的倒数——曲率半径，不能误以为是弯道的转角，同时需要注意的是糙条布置角度θ是量纲一参量，而曲率半径R的量纲是[L]，根据量纲一致性定律，两者之间不能进行叠加考虑，因此，现阶段的研究只能用糙条布置角度衡量糙条在横向上的倾斜程度.

弯道弧长L能够反映弯道段在纵向上的跨度，因此，糙条布置间距与弯道弧长之比Δl/L可以反映糙条在弯道段的密集程度.选用重力加速度g，即考虑重力影响.流体方面，因主要考虑其自身内摩擦力的影响，则选取动力黏性系数μ和密度ρ作为流体的参量.

2) 列出所有参量的量纲并确定基本量纲.所有参量的量纲见表1，且观察表1可知，该问题的基本量纲为[M]，[L]，[T].

表1 量纲分析模型各参量的量纲Tab.1 Dimensions of each parameter in dimensional analysis model

3) 猜测重复参量个数j.作为第1次猜测，取j值为基本量纲的个数，即j=3.根据Π定理可以构造k=n-j=9-3=6个量纲一的量Π.

4) 选取重复参量.选择重复参量是量纲分析中难度系数最大的部分，选择不同的重复参量会构造出不同的一组量纲一的量Π，并直接影响到分析量纲关系的难易程度.

j=3，从9个参量中选择3个作为问题的重复参量.量纲一量θ(rad)和Δl/L不选；因变量hL不选；μ已经包含了所有的基本量纲[M]，[L]，[T]，也不选；考虑基本量纲[L]，由于RL和R量纲均是[L]，两者只能选取一个，故选取RL；考虑基本量纲[M]，只能选取ρ作为重复参量；考虑基本量纲[T]，由于v和g均包含基本量纲[T]，故选取v作为重复参量.事实证明，选取v作为重复参量在量纲分析阶段要优于g，因为选取v作为重复参量可以使得导出的部分量纲一的Π具有真实的物理意义.因此，选择RL，ρ，v作为重复参量.

5) 求解量纲一的量Π.把μ与重复参量进行乘积，重复参量的幂次为待定：

(2)

得到待定常数a=-1,b=-1,c=-1,所以

(3)

其中的Π1与Re极为相似，仔细观察可以发现Π1是雷诺数的倒数1/Re.将Π1改写为传统的雷诺数形式，即

(4)

类似地，用g代替μ，重复计算就可以得到Π2：

M0L1T-2(LT-1)aLb(ML-3)c，

(5)

可以得到a=2,b=1,c=0,所以

(6)

Π2表示重力与惯性力之比，Π2其实可以表示为Froude数平方的倒数1/Fr2，即

(7)

同样地可以得到Π3，Π4，Π5，Π6，即

(8)

6) 验证量纲一的量Π，并写出问题的最终量纲关系：

Π4=f(Π1, modified,Π2, modified,Π3,Π5,Π6)，

(9)

得到糙条高度的关系式为

(10)

式(10)只是各参量之间的量纲关系，这种关系多数是以幂次的形式出现.对于幂次的定义一般采用试验方法确定.

2 模型试验

2.1 试验概况

2.1.1 试验装置

试验组成分为模型主体、自循环供水系统和数据测量系统.模型主体分为进口直段、弯道段、出口调整段，断面形式采用矩形断面；其中进口直段长60 cm，可充分保证水流在进入弯道前流速及水深进行调整.为了保证出弯水流的调整距离，出口调整段长140 cm.弯道内外边壁由厚度为3 mm的有机玻璃板热弯制成，可实现弯道转角连续改变.试验模型具体结构示意及测点布置图见文献[12].糙条主要布置在弯道段并紧贴床面，糙条布置结构及断面形式示意图见文献[12].

2.1.2 试验量测

试验流量采用直角三角形薄壁堰量测；水位采用水位测针对沿程断面水深依次进行量测.模型沿程共分50个断面，每个断面从左岸至右岸每隔 5 cm布置1个测点，每个断面共11个测点.流速采用毕托管在距离床面1/3的位置进行量测；模型沿程共设置17个测流断面，每个断面均匀选取6个测点.

2.2 正交试验设计

试验方案采用正交试验理论进行设计，为建立导流效果评价指标提供数据支撑.选取糙条的高度h1-h2(h1，h2分别为凹岸处、凸岸处糙条的高度)、糙条间距ΔL、糙条布置角度θ、弯道的曲率半径R、溢洪道宽度B和流量Q作为试验的因素，每个因素根据其自身特性分为3个水平.选取正交表L18(37)对试验进行设计，各参数的具体定量见表2.

表2 正交试验的因素和水平Tab.2 Factors and levels in orthogonal experiments

2.3 建立导流效果评价指标

为了更形象地反映糙条对弯道段流速和水深的影响，需要建立一个评价指标以反映糙条的导流效果.鉴于研究需要，提出断面水通量模型.具体方法见文献[12]中的质量离散系数模型，水通量离散模型每个断面水通量的离散程度用σ(标准差)反映，即

(11)

式中：σi为第i个断面水通量的标准差；Mi为流体单位时间通过每个微元的质量.

将各断面单位时间水通量的标准差进行叠加并取其均值，得到水通量离散系数Cm，即

(12)

式中：j为断面标号.

从推导过程可知，Cm值越接近于1则说明导流效果越好，反之Cm值越偏离于1，则说明导流效果越差.

3 多元回归分析

根据式(10)中的函数关系对试验结果进行整理，得到各工况下的水通量离散系数Cm，见表3.选取Cm为0.8～1.2的工况进行多元回归分析.

表3 正交试验结果Tab.3 Results of orthogonal experiments

结合试验结果分别采用多元线性函数、多元幂函数、多元指数函数的形式，对各量纲一的因子进行回归分析.拟合过程中发现雷诺数参量Re-1对应的幂次向无穷大发展，说明其对糙条高度的影响微小，因此，可忽略雷诺数参量.

以水通量离散系数作为评价指标对式(10)进行回归分析，结果见表4.

表4 不同函数拟合结果Tab.4 Results obtained with different function fittings

综合考虑随机误差的效应RSS和相关性R2这2项指标，其中多元幂函数相乘的形式残差平方和较小，相关性最高，因此得到hL与各影响因素最优函数表达式为

(13)

式中:Fr-2表征重力与惯性力量级的比；R/RL表征弯道的几何特征；Δl/L表征糙条布置的密集程度；θ表征糙条的倾斜程度.

经过多种工况的模型试验，确定公式(13)的适用范围为模型试验单宽流量为≤28 L/s时的工况.对于其他参数的适用范围将会在以后的研究中说明.

4 工程实例

以新疆“635”溢洪道整治工程为例[17]对式(13)进行验证.“635”工程是我国仅有的北水南调工程，北起额尔齐斯河，南至克拉玛依市.该工程建设规模为总库容4.31亿m3，引水干渠总长324 km，发电装机容量3.2万kW.“635”水利枢纽大坝为黏性土心墙砂砾石坝，坝高71.5 m，坝长约320 m，坝顶高程为650 m.“635”溢洪道工程由引水渠、控制段、人工泄槽及天然泄槽段4部分组成.溢洪道横断面为矩形断面，底宽54 m，中心线纵坡分别为1∶20，1∶10，1∶60，1∶50，1∶19，0.

由于地理位置和地质条件恶劣，溢洪道部分共分为5个弯道，以第2和第4弯道为例对糙条高度公式进行验证.溢洪道设计工况对应的下泄流量为800 m3/s，采用矩形断面形式，底宽沿程不变为54 m，第2和第4弯道进口平均水深分别为2.91和3.20 m，弯道转角分别为40.0°和22.5°，曲率半径均为135 m.计算结果见表5(表中hLT，hLC分别为实测值、计算值，σ为两者相对误差).

表5 糙条高度原型数据与计算值对比表Tab.5 Comparison of rough-strip height between prototype data and predictions

由于影响糙条高度的因素繁多且相互之间密切相关，而且多元回归分析选取的试验数据所对应的Cm具有一定的波动范围(0.8～1.0)，因此糙条高度界定存在一定的模糊性，使得计算值与原型相比略有偏大.文中建立的糙条高度模型误差在可接受范围内，能满足工程要求，可以作为糙条高度的一种预测方法.

5 结 论

基于量纲分析对糙条高度的计算公式进行了理论推导.同时，通过引入水通量离散系数作为评价指标并结合正交试验结果对公式中的系数进行了率定，建立了糙条高度的计算公式.通过上述分析，得到以下主要结论：

1) 为了研究糙条高度与各影响因素之间的关系，建立了糙条高度的半理论半经验公式，其中全面考虑了多种因素的影响，得到了糙条高度较为准确的计算方法，为广泛推广糙条消能工提供了理论依据.

2) 结合新疆“635”溢洪道整治工程现场实测数据，对所建立的糙条高度公式进行了验证，计算结果与实测数据具有较高的一致性，2个弯道计算结果的平均相对误差为7.77%，可以满足工程需要.

3) 提出了水通量离散模型.由于Mi具有真实的物理意义，因此对于评价弯道导流措施的作用效果，水通量离散系数Cm具有普遍的适用性.

4) 基于新疆“635”溢洪道整治工程原型进行研究，由于原型资料匮乏，尚未能对推导出的公式进行充分检验，但过程中用到的研究方法可供类似工程参考.