24阶群的中心自同构群

张新媛，赵静，宋蔷薇

山西师范大学数学与计算机科学学院，山西 临汾 041000

0 引言

群G到自身的同构称之为群G的自同构.G的全体自同构组成的集合通常用Aut(G)表示.容易证明Aut(G)组成一个群,叫作G的自同构群.设α∈Aut(G),称α为G的中心自同构,如果对任意的g∈G都有g-1gα∈Z(G).G的全体中心自同构组成的集合通常用AutZ(G)(G)表示.容易证明AutZ(G)(G)组成Aut(G)的一个子群,叫作群G的中心自同构群.

许多群论学者都对有限群的中心自同构群进行了研究,并给出很多重要的结论.例如:Adney和Yen研究了有限群的中心自同构群的阶[1].Sanders完全确定了一般p群的中心自同构群的阶[2].Jafari给出了一般有限纯非交换p群的中心自同构群是初等交换群的充要条件[3].后来,Jafari和Jamali又完全确定了非纯的非交换群的中心自同构群的结构[4].本文将给出24阶非交换群的中心自同构群的结构.

1 预备知识

定义1[1]称G是纯非交换群,如果非交换群G没有非平凡的交换的直积因子.显然,对于非交换p群G而言,如果Z(G)循环或者Z(G)≤Φ(G),那么G是纯非交换p群.

定义2[5]设H是有限群,K是有限交换群.记H到K的所有同态构成的集合为Hom(H，K).容易验证Hom(H，K)关于如下定义的乘法运算构成一个交换群：

fg(h)=f(h)g(h)f,g∈Hom(H，K)h∈H

引理1[1]设G是纯非交换群，则|AutZ(G)(G)|=|Hom(G/G′,Z(G))|.

引理2[4]设G=H×K,其中H,K≤G.若H是交换群，K是纯非交换群,则

|AutZ(G)(G)|=|Aut(H)||AutZ(K)(K)||T||U|

引理3[5]设A,C,U是交换群，则

(1)Hom(Cm,Cn)≅Cd,d=gcd(m,n);

(2)Hom(A×C,U)≅Hom(A,C)×Hom(A,U).

引理4[6]设G是有限群,Z(G)≤G′，则AutZ(G)(G)≅Hom(G/G′,Z(G)).

2 主要结果

交换群的中心自同构等于它的自同构群，所以本文我们仅研究24非交换群的中心自同构群的结构.

证明 注意到G是极大类群.由文献[7,定理2.5.2]知Z(G)≤G′.从而由引理4可得AutZ(G)(G)≅Hom(G/G′，Z(G)).又因为G是极大类群,所……