矩阵初等变换的应用

摘  要：矩阵的初等变换是线性代数中的最为重要的概念之一，它贯穿着线性代数这门课程的始终，并且有着极其广泛的应用。因此，理解和掌握好矩阵的初等变换对于学习好线性代数十分重要。然而，在学习线性代数中，对于理解和掌握矩阵的矩阵的初等变换及其应用，很多同学，特别是对于普通高校文科的学生，以及民办高校的学生，学习的时候，感觉知识很零碎，计算量也比较大，更不知如何更有效正确理解和掌握。本文主要是对矩阵的初等变换在线性代数中的应用等问题，进行梳理，归纳和总结。为同学们在学习有关矩阵的初等变换的知识时，能够系统地了解矩阵的初等变换在不同地方的应用，提供思路和方法。

关键词：初等变換;行阶梯形;行最简形;极大无关组：

一.矩阵的初等变换的定义

定义：将矩阵的下述变换称为矩阵的初等行（列）变换：（i）对调矩阵的i、j两行（列）;（ii）以非零数k乘以矩阵的第i行（列）的所有元素;（iii）将矩阵的第j行（列）的所有元素的k倍加到矩阵的第i行（列）对应的元素上去。

矩阵的初等行（列）变换统称为矩阵的初等变换。

二. 矩阵的初等变换的若干性质

性质1 如果矩阵A经有限次初等行变换化为B，则A的列向量组与B的列向量组具有相同的线性关系;

性质2 对矩阵A施行一次初等行（列）变换所得到的矩阵，相当于在A的左（右）边乘上一个相应的初等矩阵;

性质3 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;

性质4 可逆矩阵可以表示成一系列初等矩阵的乘积;