时标上一类二阶中立型动力方程的振动性

刘兰初

（湖南工程学院 计算科学与电子学院，湘潭411104）

0 引言

在振动性、渐近性、稳定性等方面，微分方程与差分方程在许多的研究方法与结果上是相似的，因此，有学者探索将离散和连续情形进行统一分析，1988 年，Stefan Hilger［1］首次引入了测度链时标（实数R 的一个任意闭子集［1-2］）理论，给微分方程和差分方程的统一研究提供了有力的理论依据，取得了一些研究成果.Bohner 等［3］进一步完善和发展了Hilger 的理论.Agawal、Bohner、Eber 等［4-7］系统地研究了时标上泛函微分方程的各种理论，并取得了丰硕的成果.近些年，关于时标上动力方程解的有界性、渐近性、全局稳定性、全局吸引性、振动性等的研究也取得了一些成果［8-11］.但这些成果大多限于一阶方程，而高阶方程这方面的研究却不多.主要是由于时标上高阶导数的求导与积分特别复杂，很多理论推导无法进行.本文研究时标上高阶微分方程的理论不仅在纯数学领域中有着重要的意义，而且是金融、期货、生物制药、环境科学、自动控制系统等领域重要的理论依据.

1 预备知识

实数R 的任意一个非空闭子集称作一个时标，本文以符号T 表示.例如：R、Z、N、［0，1］∪N，都是时标.但有理数集、无理数集、开区间（0，1）等都不是时标.

定义1 对任意的t ∈T，定义向前跳跃算子σ：T →T 如下：

σ(t):=inf{s ＞t:s ∈T} ，

以及向后跳跃算子ρ：T →T 为：

ρ(t):=sup{s ＜t:s ∈T} .

如果σ(t)＞t，则称t 是右边稀散的；如果ρ(t)＜t，则称t 是左边稀散的；左右两边都是稀散的点称为孤立点.另外，如果

t ＜supT 且σ(t)=t，则称t 是右边密集的；如果

t ＞infT 且ρ(t)=t，则称t 是左边密集的；左右两边都是密集的点称为密集点……