TPACK视域下的数学概念教学设计*
——以“直线的倾斜角与斜率”为例

广西师范大学数学与统计学院(541006) 高 雅 周 莹

1 问题提出

《教育信息化“十三五”规划》明确指出:“信息技术与教育教学融合要进一步深入,提升教师的信息化教学能力以及学生的信息素养,形成一批有针对性的信息化教学、管理创新模式”[1]. 由此可见,教师将信息技术整合到教学实践中的能力对学生的数学素养的培养至关重要. 随着信息技术在教育领域中的不断深入,现代教师逐渐转变传统的“填鸭式”教学观念,运用信息技术进行教学的意识逐渐提高. 但是在实际教学过程中,教师往往过于注重表面,而没有有效地运用信息技术解决教学中存在的问题. 基于此,教师就应具备整合技术与数学知识的专业能力,从而开展全新的信息化教学,为培养学生的数学素养搭建一个更好的平台.

美国学者Punya Mishra 和Matthew J.Koehler 在2005年提出了整合技术的学科教学知识(TPACK)的概念,基于此,在2006年提出整合技术的学科教学知识(TPACK)框架. 本文基于TPACK 框架进行“直线的倾斜角与斜率”的数学概念教学设计,以期提升学生建构概念、理解数学本质的能力,培养学生的自主学习能力.

2 TPACK 框架下的数学概念教学

概念是思维的产物,数学概念是数学学习的起点,是进行数学推理与判断的前提, 也是推导数学定理、公式的基础[2]. 数学概念教学是数学教学的核心,教师要帮助学生构建系统化的数学概念体系,进而有助于学生深刻理解概念的内在联系和本质区别.

TPACK 框架无疑是一个很好的选择. TPACK 框架(图1)包含三个核心要素:技术知识(TK)、教学法知识(PK)、学科内容知识(CK),三者不是相互独立的,而是密切联系,相互融合. 由它们交叉融合成四种新的复合要素:学科教学知识(PCK)、整合技术的学科内容知识(TCK)、整合技术的教学法知识(TPK)、整合技术的学科教学知识(TPACK)[3].

图1 TPACK 框架及其知识要素

TPACK 框架下的数学概念教学, 要求教师应以CK 、PK、TK 三个核心元素为基础,运用整合技术的数学概念教学知识(TPACK)进行教学. 在进行教学过程设计之前,应以TPACK 框架为基础,结合教学内容,对框架中的要素进行分析,寻找信息技术、数学教学法与数学概念之间的契合点,从而实现课堂效率最优化. 在数学概念教学设计过程中,教师首先运用整合技术的数学概念知识(TCK)创设直观的教学情境,进而引发学生的求知欲;其次运用整合数学概念教学法知识(PCK)提出一系列问题,并通过自主探究与小组合作探究的学习方式使学生在解决问题的过程中完成对新概念的建构、理解与强化. 在此基础上,教师可以利用几何画板或Hawgent 软件演示直线、圆等几何图形的动态变化过程, 这就要求教师还应具备整合技术的教学法知识(TPK).TPACK框架要求教师应具备整合技术与数学概念、教学法的能力,从而培养学生的创新、研究和探究、自我导向、信息使用、系统思维等数学素养[4].

3 基于TPACK“直线的倾斜角与斜率”数学概念教学设计

3.1 教学内容分析

“直线的倾斜角与斜率”选自《高中数学人教A 版》(必修2)3.1.1 节,主要内容是直线的倾斜角与斜率的概念以及斜率公式的推导. 作为解析几何学习的第一课,是平面直角坐标系内用坐标法来研究直线及其几何性质的基础. 本节课的重点是把握直线的倾斜角与斜率的概念以及斜率的计算公式,难点是直线的倾斜角与斜率的关系以及直线斜率公式的推导. 通过本节课的学习,旨在培养学生用坐标法解决直线问题的能力,进而提高学生观察、探索的能力以及运用数学语言表达的能力,帮助学生进一步理解数形结合的思想.

3.2 构成要素分析

基于TPACK 框架并结合本节课的教学内容,进行构成要素的分析(表1),使得学科知识、教学法知识、技术知识三者之间的融合一目了然,从而更好地设计数学概念的教学过程.

表1:构成要素分析

3.3 教学过程与设计意图

3.3.1 创设情境,提出问题

通过多媒体展示生活中的实例,引发学生思考,主动探索新知.

实例1:展示“东方明珠”塔与比萨斜塔的对比图片,提出问题:两座塔最明显的区别是什么?

实例2:展示“陡峭的山”与“平缓的山”的对比图片,提问:如果在直角坐标系中, 可以用什么量来反应直线的“陡峭”与“平缓”?

设计意图:良好的学习情境犹如一条纽带,联系着学生的认知与现实世界. 此环节立足于学生熟悉的现实生活,通过整合技术知识,创设数学学习情境,建立现实具体问题与数学抽象概念之间的桥梁,以此唤起学生的求知欲,使学生的思维处于活跃状态.

3.3.2 自主探究,建构概念

(1)教师布置任务,学生进行自主学习. 在纸上建立直角坐标系,并在直角坐标系中标出一定点P(1,1),画出过定点P的三条直线,并回答以下问题串.

问题1:直角坐标系中的三条直线有什么区别与联系呢?

问题2:如何用数学语言来描述直线的倾斜程度呢?

问题3:如果将直线绕定点P旋转,直线的倾斜程度如何变化?

问题4:类比“坡度”的定义,能否也用一个“量”来描述直线的倾斜程度?

(2)提问学生回答上述问题,由学生自己组织语言来描述直线的倾斜角与斜率的概念,教师可以对其回答进行补充.

设计意图:此环节通过自主探究、动手操作以及思考一系列问题,引导学生将普通语言转化为数学语言,激发学生在旧知识的基础上建构新的数学概念,由此渗透数形结合的思想,从而培养学生的数学抽象概率能力. 问题1 与问题2引导学生发现过定点的不同直线,其倾斜程度不同,以此得出倾斜角的概念. 问题3 教师可以运用几何画板或Flash 动画等技术动态演示“绕定点旋转”的直线倾斜角变化过程,使学生直观感受倾斜角的大小变化,从而得出倾斜角的取值范围. 问题4 引导学生运用类比的方法得出直线斜率的概念.在此环节中,学生成为教学的主体,有利于培养学生主动思考与解决问题的能力.

3.3.3 深入探索,理解概念

(1)教师给出问题串,学生分小组合作学习,深入探究概念的内涵与外延,由此深化学生对概念的理解.

问题5:任何一条直线都有倾斜角和斜率吗?

问题6:倾斜角不同,斜率是否相同呢?

问题7:已知直线的两点坐标Q(x1,y1),R(x2,y2),能否构造一个三角形推导出直线的斜率公式?

问题8:若交换P、Q的位置,公式还成立吗?

问题9:若直线平行x轴或y轴,公式还适用吗?

(2)教师请小组代表回答上述问题,并将问题7 的推导过程展示在黑板上. 教师对学生的答案进行评价及补充.

设计意图:问题5 和问题6 进一步加深学生们对直线倾斜角与斜率的概念认识,从而明白斜率和倾斜角的内在关系.问题7 旨在推导得直线的斜率公式,学生通过小组合作的方式推导出结果,并将结果展示出来,进而加强学生对公式的记忆. 问题8 与问题9 通过变换前提条件的提问方式,引发学生的思考,发散学生的思维,从而加深对概念的理解.

3.3.4 应用迁移,强化概念

学生推导得斜率公式后,通过例题讲解强化概念.

例题1:已知直线的倾斜角为30°,求直线的斜率.

例题2:求经过C(10,−5),D(−2,1) 两点直线的斜率,并判断其倾斜角是锐角还是钝角.

根据例题,完成以下变式训练.

变式1:经过A(−1,6),B(x,12)两点的直线的斜率为2,求x的值?

变式2:已知A(6,4),B(−4,1),C(0,−2), 求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.

设计意图:此环节由例题与变式训练共同组成,是对学生是否真正理解概念、掌握新知识的检测. 教师首先结合课本选取例题,帮助学生巩固概念,促进知识的迁移. 其次对学生进行变式训练,启发学生的逆向思维,使学生对新概念达到更深层次的理解. 此环节帮助学生进一步体会数形结合的思想,以期培养学生运用坐标法解决几何问题的能力.

3.3.5 总结反思,构建体系

学生总结本节课的学习收获,与教师一起绘制思维导图,建立概念知识体系.

图2“直线的倾斜角与斜率”思维导图

设计意图:此环节启发学生自主归纳新知,对本节课的学习进行总结,培养学生的概括能力以及数学表达能力,使学生养成反思总结的习惯,强化学生自我评价与自我管理意识. 利用思维导图,将概念知识系统化,优化知识结构,以期提高学生的系统性思维水平.

4 教学总结与反思

4.1 基于TPACK 的数学概念教学设计的总结

一是整合技术,激发兴趣. 有效地整合信息技术能够在教学中吸引学生的目光,带动课堂气氛,从而激发学生的学习兴趣,培养学生观察、探索、解决数学问题能力,帮助学生进一步理解数形结合、类比归纳等数学思想.

二是要素分析,有效整合.“TPACK 框架的构成要素分析”使得学科知识、教学法知识、技术知识三者之间的融合一目了然,从而更好地进行数学概念的教学过程设计.

三是引导探究,环环相扣. 设计“创设情境—自主探究—深入探索—应用迁移—总结反思”环节,符合构建主义学习理论. 引导学生从原有的知识经验出发建构新概念,通过自主探究与合作探究,加深对概念的理解,强化概念的应用,使学生的学习方式由“被动型”转变为“主动型”.

4.2 基于TPACK 的数学概念教学设计的反思

基于TPACK 的数学概念教学设计的重点在于如何将信息技术、教学法与数学概念知识进行完美地融合,这就需要教师具备整合技术的能力. 首先,教师应加强整合技术知识的学习. 教师在学习和理解TPACK 理论与框架后,对教学内容进行重新认识和思考,进而采取整合技术的方式来解决传统教学上的难点[6]. 其次,教师应将理论与实践相结合. 教师要根据具体教学内容进行TPACK 框架的要素分析,不能只注重表面,而是要寻找信息技术、数学概念及教学法之间的联系点,使整合达到最优化,从而提高教学效率. 总而言之,教师就应具备整合技术、数学知识与教学法的专业能力,从而开展全新的信息化教学,以期提高学生的自主学习与解决数学问题的能力.