波纹夹层板固有频率的一阶Zig-Zag 理论计算方法

王小明，魏 强

(1. 中国舰船研究设计中心，湖北 武汉 430064；2. 船舶振动噪声重点实验室，湖北 武汉 430064)

0 引 言

夹层板是由强度大的上下面板和密度较小的心层组成，通常上下面板可以是钢板，碳纤维或者玻璃钢等，心层可以是木材，铝蜂窝或者泡沫塑料。心层的设计还有一种思路来降低等效密度，可以把心层设计成空心的波纹状结构，通过粘结[1–2]或者激光焊接[3–4]与上下面板相连，这就是波纹夹层板（见图1）。这样组成的新结构具有比强度高、比刚度高的优点，经常被应用到航空航天工程，船舶海洋工程，建筑桥梁工程和车辆工程等。

对于夹层板固有频率的研究，最经典的著作是文献[5]，其中以Hoff理论研究了夹层板的振动频率，分别研究了不同边界条件下，固有频率的计算方法。吴晖把夹层板看作正交异性体，借鉴文献[5]中的结论，认为垂直波纹方向的剪切刚度无限大，推导出固有频率的解析表达式[6]；Hossein Zamanifar等运用精细切片法研究了夹层板的自由振动和强迫振动，通过等效参数，将三维的夹层板通过等效参数转化成二维正交异性板，求解了无量纲的自由振动频率，与前人的研究成果吻合一致[7]。Zig-Zag理论在复合材料或层合板领域应用很广泛[8–10]。白瑞祥等以3层均质复合材料（或等效成3层均质复合材料）夹层板为研究对象，引入一阶Zig-Zag理论，建立了夹层板自由振动的有限元模型，采用子空间迭代法求解自由振动固有频率[11]。对于上下面板之间是非连续介质的心层夹层板，目前采用一阶Zig-Zag理论来建立运动方程的文献很少。本文提出一种考虑波纹夹层板心层不连续形状的情况下，上下3层都应用一阶Zig-Zag理论建立夹层板的运动方程的方法。

图1 波纹夹层板结构示意图Fig. 1 Corrugated sandwich structure

1 振动微分方程

如图2所示，波纹夹层板由上下面板和中间心层组成。在波纹夹层板中建立坐标系统。

图2 夹层板坐标系统Fig. 2 Coordinate system of corrugated sandwich

图中：tt为上面板厚度，tb为下面板厚度，tc为中间心层的厚度；心层的静高度为hc，心层的周期间距为lc。在线弹性理论分析，做以下基本假设：

1）夹层板的上下面板为普通薄板，考虑其抗剪作用，应用一阶剪切变形理论；

3）考虑心层的剪切作用，则心层中面法线在变形后保持为直线，但不再垂直于变形后的中面；

4）心层仅考虑其沿波纹方向的弯曲作用，忽略其垂直波纹方向的弯曲作用；

5）上下3层结构的面内位移沿板厚方向分段连续。

1.1 坐标系统与位移表达

根据假设1～假设4和图2中夹层板的坐标系统，上下面板的位移函数可以表示为：

式中：k取t，表示上面板；k取b，表示下面板。

心层的位移函数可以表示为：

根据假设5，可以列出位移连续条件如下：

将式（1）～式（5）代入式（7）～式（10），求出：

将式（11）～式（14）代入式（1）和式（2），联合式（3）～式（6），则所有的位移函数都用心层的中面位移函数表达。

应用弹性理论的应变位移关系，对于上面板：

对于下面板也可以类似推导。

对于心层，正应变和剪应变分别为：

1.2 物理方程

上下面板和心层的每一个构件材料，认为它是各向同性的，则由弹性理论可以求出应力。

根据文献[12]和文献[13]的结论，心层yz平面的剪切弹性模量可表达为：

1.3 能量原理

哈密尔顿（Hamilton）原理提出稳定系统的动能和势能之差（动势）必然是最小值。对于振动分析的波纹夹层板而言，系统存在动能T和势能U，但是没有外力做功，势能仅包括系统的应变能。根据变分法，则应该使得

系统的动能包括3部分，分别是上下面板动能和心层动能。

系统的势能主要是指构件的应变能，应变能也包括3部分，分别是上下面板应变能和心层应变能。

其中：

将式（33）～（38）代入式（32），应用变分法中的拉格朗日–欧拉方程，经过复杂的推导、运算，得出以下振动微分方程：

2 边界条件与方程求解

对于简支的夹层板，其边界条件为：在x=0或a

在y=0或b

根据边界条件式（48）和式（49），可以取双傅里叶级数为式（39） ～ 式（47）的解，则

将式（50）～式（56）代入式（39）～式（47），然后比较两边的系数，则可以列出关于，，的方程组，要使得这些系数有非零解，必然使得系数行列式为零。这个系数行列式就是关于固有角频率的十八次多项式，解出这个十八次方程，取最小的正根就是所要求的固有角频率，则固有频率

3 方法验证

夹层板四边简支，长边a=2 000 mm，短边b=1 500 mm，上下面板厚度tt=tb=3 mm，心层厚度tc=2 mm，心层静高度hc=40 mm，心层周期间距lc=50 mm，上下面板和夹心都是同样材料，弹性模量E=Ec=2.1×105MPa，泊松比计算其横向微振动的固有频率。

为了形成对比，验证方法的准确性，分别用4种方法分别计算这个算例。

1）方法1

按照文献[5]所列公式计算固有频率（即Hoff理论），不过其中的剪切刚度不能采用连续介质心层的公式，而是采用等效剪切刚度，即采用式（56）；

2）方法2

按照文献[6]中所列公式求解（即简化的Reisser理论），其中的剪切刚度也是采用方法1中的等效剪切刚度；

3）方法3

采用Ansys软件，用shell181单元模拟面板和心层，三维有限元计算固有频率；

4）方法4

本文方法。

表1列出了这4种方法计算的前9阶固有频率。从表1看出关于前8阶固有频率，上述4种方法的计算结果都非常接近，误差小于10%。因此本文的计算方法是有效可信的。

表1 各种方法关于前9阶频率的计算结果Tab. 1 Calculation results of freconcy from above methods

4 面板剪切作用的体现

当面板厚度较小的时候，忽略面板的剪切作用造成的误差是很小的。但是当面板厚度增加，剪切作用就表现比较明显。以第4节中算例的参数为基础，固定其他变量，分别以面板厚度和心层厚度为自变量，一阶频率为因变量，图3为不同方法计算的夹层板一阶频率随面板厚度变化曲线（上下面板相等，且同步变化），图4为不同方法计算的夹层板一阶频率随心层厚度变化曲线。

图3 面板厚度与一阶频率关系曲线Fig. 3 Face sheet thinkness and first order frequency relationship curves

图4 心层厚度与一阶频率关系曲线Fig. 4 Core sheet thinkness and first order frequency relationship curves

从图3和图4看出，面板厚度较小，不同方法计算的结果差别很小，面板厚度大于5 mm后，差别则很明显。同时，因为各类方法都考虑了心层的剪切作用，不管心层厚度如何变化，不同计算方法计算的固有频率都很接近。

5 结 语

通过应用一阶Zig-zag理论，同时考虑心层的实际形状，建立波纹夹层板的振动微分方程。用算例验证了本方法计算的前8阶固有频率的计算误差都在10%以内。

波纹夹层板面板板厚较小，忽略面板剪切作用的影响，导致的计算误差可以忽略；当面板厚度大于心层厚度1/8时，则误差是明显的，并且厚度越大，误差也越大。

因为Hoff理论中考虑了心层的剪切作用，因此波纹心层厚度的增加，不管是用Hoff理论计算还是简化的Hoff理论计算，都与本文方法计算结果极为接近。