小波框架的彩色图像泊松去噪

高涛 何秀丽

0 引言

图像去噪是图像处理中的基本问题,其目标是从含噪的观测图像中估计出理想图像.通常这是一个不适定的反问题,大量文献对该问题进行了深入的研究,但主要针对的是高斯白噪声[1].然而,如CCD(电荷耦合元件)固态光电检测器阵列、天文成像、计算X 射线成像(CR)、荧光共焦显微成像等,获取的图像往往受到量子噪声的污染,量子噪声一般为非高斯白噪声,而是服从于泊松分布的泊松噪声y～P(y):

(1)

其中,P(y)为泊松噪声的概率密度函数．另外,式(1)还体现出泊松噪声强度与方差是信号依赖的.统计上,亮度大的像素受到更多的干扰,因此去除泊松噪声是一个困难的任务．迄今为止,有许多学者在灰色图像的泊松去噪方面做出了大量工作[2]．但是,针对彩色图像(RGB)的泊松去噪研究至今很少.

小波分析作为近年来发展起来的一种新的信号分析方法,兼有时域分析和频域分析的特点,在分析信号的去噪方面有其独特的优点．小波变换以其特有的多分辨率性、去相关性和选基灵活性等特点,使得它在图像去噪方面大有可为．图像信号与噪声信号经过小波变换后,在不同的分辨率下呈现出不同规律.在不同的分辨率下,设定阈值门限,调整小波系数,就可以达到小波去噪的目的．小波去噪的方法有很多种,本文选用的是小波阈值去噪．特别的,本文选择小波紧框架[3],因为它的多分辨率特性和冗余有助于算法的实现和图像的稀疏表示[4-5].

本文基于Goldstein等[6]的研究工作,提出了一种基于小波紧框架的彩色图像泊松去噪模型．该模型是由保真项和正则项构成的最小凸问题．基于泊松噪声的概率密度函数特征,保真项为赋权的二范数项,与此同时,本文在正则项中引入小波紧框架,从而更好地保持了图像的棱角细节．紧接着,本文又提出了解决上述模型的重新赋权的split Bregman 算法．在本文最后,又给出了该算法的数值实验结果,结果显示该算法具有一定的实用性和应用推广价值.

1 背景知识

图像去噪需要较好地保持图像边界等细节信息．本文将含有噪声的彩色图像看作一个M维的向量f∈RM,具体表达形式如下:

f=u+ε,

(2)

其中,u为干净彩色图像,ε是噪声干扰项．f=(f1,f2,f3),u=(u1,u2,u3)分别代表了RGB 3个通道．并且,对于所加的白高斯噪声,方差为σ2的独立正态分布．采用经典的最大后验概率P(u|f)估计,图像去噪的变分模型通常是保真项和正则项之和的最小化:

其中,λ是一个正数,用于平衡保真项F(u)和正则项G(u)．保真项是关于噪声的特性,由似然函数得到,数据的保真项可以保持修复后的图像u与观察的图像f足够接近,否则有用的信息可能在求解模型时丢失．正则项G(u)是基于u的先验假设得出的,而惩罚项l1的标准解代表了小波变换的系数[7]．因此,下面的变分模型主要研究高斯白噪声图像恢复:

这里‖.‖1表示l1范数,W是一个小波变换[7].

假定观察数据f∈RM含有泊松噪声,即

f～P(u+c),

给定u,可以得到观测数据f的概率：

这里,ui表示u的第i行元素．根据泊松噪声的性质,可以得出f的期望和方差：

E(f|u)=var(f|u)=u.

2 泊松去噪的加权最小二乘法

2.1 小波框架

小波框架是一族冗余的具有多分辨率分析(MRA)的系统,它在图像处理等领域已经有很好的应用．小波框架的构造可通过 UEP(不等差错保护)方法来生成[8].

通过小波紧框架系统的滤波器,可以生成快速紧框．矩阵W由J+1个子滤波器W0,W1,…,WJ构成．其中,W0是低通滤波器,其余的均是高通滤波器．相应地,由统一展成原则,WT是快速紧框架重构算子,且WTW=I对任何图像u均有WTWu=u.

2.2 模型和算法

根据式(2),可以得到泊松噪声的表达式如下:

ε=f-u.

假设给定u,可以得出期望E(ε|u)=0和方差var(ε|u)=u.

接下来,用高斯噪声[9]近似估计泊松噪声ε,即ε服从正态分布N(0,u):

P(ε|u)

(3)

其中,∑是协方差矩阵．由于每个像素上的噪声是相互独立的,因此可以得到

∑=diag(u),

其中,diag(u)是对角矩阵．运用极大似然估计,取式(3)的负对数,得到保真项为

(4)

(5)

通过假设u>0,所以∑-1是正定的．式(5)可以作为偏差原理去选择正则化参数λ．然而,由于保真项中含有一个未知的权重u,所以该问题十分难解．因此需要近似u[10].

最简单的做法是将观察到的数据f来近似未知的权重u,从而得到如下表达式:

但是,这种近似是粗糙的或者是不精确的．本文提出一种重新赋权的split Bregman算法可以更精确地求解未知量u.

结合框架的稀疏化和非负性的约束,可以得到彩色图像的泊松去噪模型:

其中

这一方法可以直接应用到求解非线性最小二乘法的稀疏正则化问题,为此平滑的正则化项l1范数可以通过计算梯度获得．笔者感兴趣的是可以用加权最小二乘结构的优势,并利用提出的高效稀疏正规化方案,例如split Bregman方法[11]来实现．假设有一个迭代算法可以求解上式,并且求得的结果是序列uk．如果uk收敛到u*,通过固定u*可以解决下列最小化问题:

(6)

为了接近先前的迭代而使结果稳定,可以在u和d的更新中增加一个邻近项．给定γ1,γ2,具体步骤如下:

(7)

当γ1=γ2=0时,它就是之前的式(6).

算法1更详细地描述了式(7)．另外,需特别注意的是,第一步可通过梯度方法投影到非负象限解决．在实践中,多几次迭代足以获得一个合理的结果.

3 数值实验

下面,将泊松噪声模型数值试验结果与未加噪声的原始图像进行比较从而证明算法的合理性．其中在干净的图像中添加泊松噪声使用的是Matlab中的‘poissrnd’命令．所有的实验选择分段线性B样条．对应的滤波器离散形式[12]如下:

图1是试验图像进行算法执行的结果,上层是原始图像,中间是加泊松噪声后的图像,下层为算法迭代20次恢复的图像．图2是试验迭代次数与对应的PSNR的值.

由图1可以直观地看出,本文所做的3组数值实验的去噪效果均非常好．彩色图像中的具体细节得到了有效的保持.

由图2可以看出,算法的PSNR值均在迭代10次左右达到最大,最大值均接近27．由此可以看出,算法不但去噪效果好,而且去噪效率极高,从而在具体的生产实际中有着重要的推广价值.

算法1 泊松噪声去噪的重新赋权l2范数split Bregman算法初始化:u0=0,d0=Wf,b0=0,k=1,0是初始的协方差矩阵.当 ‖uk-2-uk-1‖2>δ或k=1运行,uk+1=argminu≥012‖u-f‖2-1k-1+μ2‖Wu-dk-1+bk-1‖22+γ12‖u-uk-1‖22,dk=sign μ(Wuk+bk-1)+γ2dk-1μ+γ2 ·maxμ(Wuk-1+bk-1) +γ2dk-1-λ/(μ+γ2),0 ,bk=bk-1+Wuk-dk,∑k=diag(uk),k=k+1.结束

4 结语

本文提出了一种基于小波紧框架的彩色图像泊松去噪模型．该模型是由保真项和正则项构成的变分问题．基于泊松噪声的概率密度函数特征,保真项为赋权的二范数项,与此同时,本文在正则项中引入小波紧框架,从而更好地保持了图像的棱角细节．紧接着,本文又提出了解决上述模型的重新赋权的split Bregman算法．最后,又给出了该算法的数值实验结果,结果显示该算法具有一定的实用性和应用推广价值.