基于计盒维数的小波分形四叉树医学图像编码研究

杜洋，范医鲁，曲新亮

1. 山东职业学院 铁道供电与电气工程系，山东 济南 250104；2. 山东第一医科大学第一附属医院 医学工程部，山东 济南250014

引言

现代医疗设备及医学成像技术的发展产生了海量的医学图像，这些医学图像中包含了巨大的与疾病诊疗相关的信息量，使其在临床疾病的诊断中发挥着越来越重要的作用[1]。而医院医学图像存储与传输系统的普及和远程医疗技术的发展，对数字医学图像处理技术提出了更高的要求[2]。与一般的图像处理相比，医学图像处理具有其复杂性和特殊性，其压缩编码处理要求更高的可靠性[3]。

针对医学图像的压缩编码，目前已发展了种类繁多的相关算法，如Huffman编码、正交变换编码（基于离散余弦变换的JPEG）、子带编码（基于小波的零树编码）和分形等[4-7]。其中，小波变换与分形方法相结合的小波分形编码方法是近几年来的研究热点[8-9]。相比传统单纯的小波变换，小波分形编码方法具有压缩比高、恢复图像质量高等优点[10]。但该方法仍然存在匹配时间较长、编码时间较长等问题。

本研究在课题组已开发的自适应小波分形四叉树医学图像编码方法[11]基础上，将自适应差分计盒维数[12]引入到小波分形四叉树医学图像编码方法中，在进行小波分形四叉树匹配时，只对分形维数值相近的X树和D树进行匹配，缩小了匹配范围，缩短了匹配时间。在恢复图像质量和压缩比不变的基础上，图像的编码时间将大大缩短，本文通过仿真实验验证该算法的有效性，现报告如下。

1 差分计盒维数法定义

1.1 计盒维数

计盒维数法是分形维数计算中相对简单的一种方法，应用也为最广泛。在医学图像中，病灶部位与非病灶部位的分形维数值存在明显差异[13]。使用计盒维数对图像进行边缘提取可解决图像处理中噪声滤除与图像细节间的矛盾，为医学图像处理提供一种有效新方法。

计盒维数的定义如下：设A是空间Rn的任意非空有界子集，对于任意r＞0，Nr(A)表示用于覆盖所需边长为r的n维盒子的最小数目。若存在一个数d，使得r→0时满足公式(1)：

则称d为A的计盒维数。

需要注意的是，计盒维数为d，当且仅当存在一个正数k满足公式(2)：

对式(2)两边取对数可得公式(3)：

进一步求得公式(4)：

1.2 差分计盒维数

差分计盒维数是一种比传统的计盒维数方法精确性更好、计算简单的方法[12]。该方法将待处理的医学图像分割成像素大小一致的小格子，然后依次计算每个格子的计盒维数。用差分计盒维数方法计算分形维数的算法分三步。

（1）将一幅像素为M×N的图像 分割成像素大小为m×n的子块，其中m=M/r，n=N/r。将每一个子块图像视为三维视图，则子块图像的高度为p=∧/r， 表示子块图像总灰阶数。则第(i,j)个子块图像的总盒数，见公式(5)。

其中，S(i,j)表示第(i,j)个子块的面积。nr(i,j)取实数值而不是只取整数值。

（2）整个图像的总盒数，见公式(6)。

（3）由式(4)，r分别取不同的值，可以画出(log(1/r)，log(Nr))的曲线图，曲线图的斜率就是计盒维数d的值。

2 小波分形四叉树编码方法

小波分形四叉树编码方法是针对图像小波变换后的系数进行分形四叉树编码，创建小波X树和匹配树P，在误差允许的范围内，匹配树P进行仿射变换与X树进行匹配，得到匹配系数[14]。对不满足阈值匹配条件的分形编码方块，将继续细分为4个小的子树进行分形编码，直到满足阈值匹配条件或者达到最小尺寸为止。

假定编码后图像总码率为B。算法的大致步骤为：① 采用对称或反对称的小波基函数对原始图像进行小波变换；② 对第一步得到的系数进行分形四叉树编码；③ 设定阈值ε，在满足阈值要求的条件下，构造匹配树与小波分形四叉树进行匹配计算，设定保存分形匹配系数所需的比特数为Bf；④ 对剩下的没有进行分形匹配的小波系数进行量化编码，剩下的系数中，除了不满足尺度条件的小波系数，还有不满足四叉树分割条件而保留下来的部分系数，用剩下的比特数Bw=B-Bf对这些系数进行量化编码。

3 本文具体算法

为解决小波分形编码方法匹配时间长、编码时间长的问题，本研究将自适应差分计盒维数引入到小波分形四叉树医学图像编码方法中，在进行小波分形四叉树匹配时，只对分形维数值相近的X树和D树进行匹配，缩小了匹配范围，缩短了匹配时间。在恢复图像质量和压缩比不变的基础上，图像的编码时间将大大缩短。本文算法流程示意图如图1所示。

图1 本文算法流程示意图

为便于叙述本文算法，假设待压缩图像尺寸为256×256，这种假设对本文算法的一般性没有影响。

（1）按照改进的Mallat快速算法[15]对图像进行6级小波分解，获得19个子带图像。

（2）对小波第6级分解图像的4个分解子带图像LL0，LH0，HH0，HL0，进行无失真量化编码。

（3）首先构造大小为341的小波树X5和大小为1024的匹配树P6，经过计算可以知道共有192棵X5和64棵P6；其次计算X5的计盒维数和P6的计盒维数，分别记为Wx5和WP6。用均方误差作为小波树匹配时的误差测度。

（4）对每一颗小波树X5，按照|WX5-WP6|遍历计算所有的匹配树，按值由小到大的顺序挑选匹配树P6进行匹配；假设匹配误差门限为T5，经过匹配后的误差为E5，将E5＜T5为成功匹配条件。

（5）若是经过计算，所有的匹配树P6都不满足匹配条件，则匹配失败，需将X5进一步的分割，此后不再计算小波树和匹配树的计盒维数。

（6）小波树X5进一步分割：第一部分为1个根节点，剩下340个节点组成另一部分X4，1个根节点在各自所属的子带内采用标量量化编码，X4被看成一个新的小波树，同样的构建匹配树P5：可由P6去掉1个根节点得到。这样就构建了64个每个大小为1023的匹配树P5。设定匹配误差门限为T4，匹配后的误差为E4，E4＜T4为成功匹配条件。

（7）若是经过计算，所有的匹配树P5都不满足匹配条件则匹配失败，需将X4进一步分割：4个根节点采用标量量化编码，剩余的336个节点组成小波树X3。同样的构建匹配树P4：P5去掉4个根节点剩余1019个节点组成匹配树P4，设定匹配误差门限为T3，经过匹配后的误差为E3。E3＜T3为成功匹配条件。

（8）若是经过计算，所有的匹配树都无法满足匹配条件，则按照上述类似的方法对X3进行分割并且构建匹配树、设定误差门限，按照误差门限进行匹配；若不成功则进一步分割，直到匹配成功或者达到本实验允许的最小子树尺寸63。

（9）重复步骤（3）～（8），直到所有的X树都匹配完毕或者到达最小分割条件为止。

相应的医学图像的解码步骤如下：① 恢复所有标量量化编码的小波系数；② 通过分形解码，利用已知的分形系数和小波系数，通过分形四叉树迭代方法恢复所有的小波系数；③ 小波反变换。解码时，由匹配树P经过适当的分形变换恢复X的过程是无条件收敛的，且可经有限次迭代完成收敛[14]。

4 仿真实验

4.1 实验材料

本文选用医学X射线图像进行仿真算法验证。将本文算法与传统的小波分形四叉树图像编码算法进行对比实验，实验环境为Pentium i3 CPU，4 G内存，matlab版本为7.1。仿真实验条件如下：① 选取的医学X射线图像256级灰度（8 bit），原始图像大小为2048×2048；② 小波变换所用的是双正交小波基B97；③ 原始图像的小波分解级数为8级，即小波树的最大尺寸为16383，实验允许的最小分割尺寸为63；④ 所有标量量化编码的小波系数被量化为16 bit，计盒维数值被量化为32 bit；⑤ 其他由分形变换编码的小波树的记录格式为：匹配树的序号即P位置坐标（Px,Py），组合变换系数s，系数变换因子a，其中s为8 bit，a的取值范围为[-2.0,2.0]并量化为8 bit，（Px,Py）则根据不同的搜索空间而定；⑥ 分割阈值根据实验要求灵活设置（一般来说：阈值增大，四叉树分割次数减少，图像的压缩倍率提高，但恢复图像质量下降；阈值减小，四叉树分割次数增多，图像的压缩倍率降低，但恢复图像质量提高）。

4.2 图像质量评价

峰值信噪比（Peak Signal-to-Noise Ratio，PSNR）是一个工程术语，表示信号最大可能功率和影响它的破坏性噪声功率的比值。在图像压缩领域中，PSNR是一种常用的测量信号重建质量的方法。本研究中，我们采用PSRN来衡量恢复图像质量。PSNR定义为公式(7)。

其中，M和N是图像尺寸，I(i,j)和I'(i,j)分别代表原始图像和压缩图像的像素值。PSNR值越高表明重建图像与原图像的均方误差越小，图像质量越好。

4.3 仿真结果

选用100张医学X射线图像进行仿真算法验证，分别采用本文算法和小波分形四叉树算法进行图像编码。算法对比压缩示例图像如图2和表1所示。

图2 本文算法与小波分形四叉树算法重建图像

表1 本文算法与小波分形四叉树算法结果对比

在本次实验中，图2b和图2c为一组对照图像，图2d和图2e为一组对照图像。由表1可以看出，在PSNR=28.8，压缩比64.1时，本文算法匹配时间和编码时间分别比小波分形四叉树算法缩短8 s和9 s；在PSNR=29.7，压缩比60.5时，本文算法匹配时间和编码时间比小波分形四叉树算法均缩短8 s。由此可见，在两种算法压缩比、重建图像质量相同的情况下，本文提出的算法编码时间明显优于传统小波分形四叉树算法。

为进一步验证本文算法的有效性和优越性，我们采用统计学的方法对数据进行对比分析，采用SPSS 17.0软件进行数据处理，进行χ2检验，以P＜0.05为差异有统计学意义。本文分别采用本文提出的编码算法和传统小波分形四叉树编码算法对100张原始图像进行压缩编码，具体结果见如表2所示。

表2 两组编码时间比较

由表2可见，在相同压缩比和重建图像质量的前提下，本文算法的编码时间明显优于传统小波四叉树算法。此外，本文算法是一种有损的图像压缩方法，重建图像已经丢失某些细节，而这些细节在医学诊断中往往具有很高的价值。但在某些特殊的应用场景中，如回顾、教学或有权限限制的用户浏览时，经本文算法的重建图像是可以接受的。

5 讨论

小波分形四叉树编码方法是一种效果较好的医学图像压缩方法，但是存在编码时间较长的问题。小波和分形编码偏向图像的结构和纹理，支持多分辨率采样，这与当前图像压缩向结构编码转变的趋势相符[16]。医学图像分形压缩方法是一种利用局部迭代函数系统进行图像压缩的算法，能够取得较高的压缩比。相比传统单纯的小波变换，小波分形编码方法具有压缩比高、恢复图像质量高等优点[10]。但该方法仍然存在匹配时间较长、编码时间较长等问题。

在图像分形几何学中，具有分形结构的形状和复杂程度可通过分形维数来表示。分形维数是定量描述分形的基本参量，它是标度变换下的不变量，是对物体复杂程度、粗糙程度、不规则程度等性质的一种测度[17]。分形维数值越大表明形状越复杂，反之则越规则[18]。分形维数有多种计算方法，其中差分计盒维数[19-20]因其计算相对简单、直观，是分形维数计算方法中最常用的一种。

本文将差分计盒维数引入到小波分形四叉树算法中，对小波分形四叉树算法加以改进，按照计盒维数值的近似程度选取匹配树进行匹配，相比传统小波分形四叉树方法在压缩比和恢复图像质量相差不大的情况下，明显减少了匹配时间，从而缩短了编码时间。仿真实验也证明了本文算法的有效性。

此外，本文提出的算法是一种有损图像编码方法，不能用于无损的图像编码场合。在对图像质量不苛求的情况下，本文算法是一种比较好的方法。