直线与抛物线关系中的两个推广结论

福建省德化第三中学 (362500) 庄明丽

直线与抛物线的交点问题、位置关系是高考的重要考点，考查方式多样化，如定点、定值、相切、范围等等，这类问题的解答通常都具有通性通法，不外乎利用方程思想结合一元二次方程根与系数的关系加以解决，但是往往运算量较大，很多学生不一定能得出最终的结果.若是能利用一些二级结论在解题(尤其是选填题)中加以运用，势必能达到事半功倍的效果.本文从一道引例的解答中获得灵感，深入探究并拓展与推广，最终获得两个实用的一般性结论供借鉴与应用.

(1)求点C的轨迹方程；

(2)经过点F(1,0)的动直线l与点C的轨迹方程交于A,B两点，在x轴上是否存在定点P(异于点F)，使得x轴为∠APB的角平分线？若存在，求出P的坐标；若不存在，请说明理由.

思考：第二步的结论即在x轴上存在点P(-1,0)使得x轴为∠APB的角平分线即kPA+kPB=0，而kOP=0即kPA+kPB=0=kOP.我们把本题第二小步的结论记为结论1，即：

结论1 过抛物线y2=4x焦点F(1,0)的直线l与抛物线交于A,B两点.已知P(-1,0)，连接PA,PB，则kPA+kPB=kOP.

点P(-1,0)刚好与焦点F(1,0)的横坐标互为相反数，这是巧合还是具有一般性呢?点P(-1,0)刚好是抛物线y2=4x的准线与x轴的交点，如果是准线上的其他点是否也满足kPA+kPB=kOP呢？经过探究发现，结论1可以做以下推广：

图1

推广1 如图1，过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点.已知点P为准线上的点，连接PA,PB，则kPA+kPB=kOP.

查阅这几年高考，2018年全国卷Ⅲ的填空题第16题的立意与此类似，原题如下：

已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点．若∠AMB=90°则k=2．

本题可以用常规方法解答，还可以用推广1的结论：设直线AM,BM的斜率分别为k1,k2，根据已知条件和推广1有k1·k2=-1,k1+k2=kOM=-1，从而可求得k1,k2，便可以得到直线AM或者BM的方程，也就不难求出A或者B点坐标，那么问题也就解决了.

推广1中直线l过焦点F，且点P的横坐标跟焦点F的横坐标互为相反数，如果直线l不是过焦点而是过定点x轴上的其他定点，且点P所在直线方程为此定点的横坐标的相反数，对应的结论会不会成立呢？

图2

推广2 如图2，过点C(n,0)(n>0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点，点P所在直线的方程为x=-n，连接PA,PB，则kPA+kPB=kOP.

证明：设直线l的方程为x=ty+n，联立

2018年全国卷Ⅰ的文科试题就考过这样的一道题，立意与推广2类似，题目如下：

设抛物线C：y2=2x，点A(2，0)，B(-2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．

(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；

(2)证明：∠ABM=∠ABN．

简证第二步：由推广2的结论知kBM+kBN=kBO=0,即BN,BM斜率互为相反数，故∠ABM=∠ABN.

从推广2的证明过程中可以发现这个结论跟n>0没有关系，所以推广2还可以再推广：

推广3 如图3，过点C(n,0)(n<0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点，点P所在直线的方程为x=-n，连接PA,PB，则kPA+kPB=kOP.

图3

证明过程与推广2一样，这里就不重复了.从推广2和3看出，不管直线所过定点在x轴的正半轴还是负半轴，都会有kPA+kPB=kOP.如果抛物线开口向左，那么结论同样成立.焦点在x轴成立，那焦点在y轴会不会也有这样的结论呢？用同样的方式探究发现这结论kPA+kPB=kOP并不成立.焦点在y轴的抛物线方程变为x2=2py(p>0)，再结合推广2的证明过程，不难看出焦点在y轴时的结论只要把那些斜率倒数一下就可以了.

图4

开口向下的也同样有此结论.

因此抛物线具有这样的性质：

(1)过定点C(n,0)(n≠0)的直线l与抛物线y2=±2px(p>0)交于A,B两点，点P所在直线的方程为x=-n，连接PA,PB，则kPA+kPB=kOP.

由此可见，学习数学知识若是经常性地做一些探究、推广、归纳、总结，长此以往，可以激发和提高我们的发散思维能力和创新思维能力.抛物线中还有很多类似的结论等着我们去发现.比如上面2018年全国卷Ⅲ的填空题第16题的原题如下：

已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与c交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k=2．