平面向量寻常事，隐圆构造巧传情

浙江省湖州二中 (313000) 胡志杰

《普通高中数学课程标准(2017)》指出直观想象是利用空间的想象对事物的发展和变化进行感知，引申到数学课程学习上就是利用图形来辅助理解数学知识和解决未知的数学问题。向量作为代数与几何的纽带，兼备“数”与“形”的双重身份，向量运算更具有丰富的背景内涵，加之解法灵活多样，备受命题者青睐，因此向量小题便成了高考的“常客”.纵观历年高考中的向量题都具有非常优美的几何背景，圆则是众多几何背景中不可或缺的内容.此类题型在解题过程中，隐圆构造过程显得尤为重要，下面笔记就圆的构造总结了几类常用的方法.

一、定义圆

图1

二、对角互补圆

图2

评析：在向量问题处理过程中，若能出现对角互补的四边形，即可构造四点共圆图形来分析问题.

三、直径圆

图3

图4

四、对边对角圆

图5

评析：三角形中，已知一边边长及其对角大小，根据圆中“同弧所对圆周相等”即可构造该三角形的外接圆，这种方法不仅在向量问题中应用广泛，在解三角形问题中也十分常见.

五、极化圆

图6

图7

六、阿波罗尼斯圆

|PB|=|PC|.若AB=3，则ΔABC的面积最大值为.

解析：如图7作ΔABC，N为BC中点，M为AC上一点且满足2MA=MC.由

图8

评析：此题为阿波罗尼斯圆的逆用，即已知圆和其中一个定点，利用比例关系寻找另一个定点的过程.

结束语：上文笔者所提及的构造方法，并不是追求高难度的解题技巧，而是着意于解题工具的选择，着意于数学问题和数学本质的理解.重视几何直观并不意味着忽视代数运算，代数运算与几何直观相辅相成，双管齐下，灵活自如地进行数与形的互相转化才是我们的追求.