有限水深海浪背景下船舶尾流感应电磁场数值模拟❋

王向坤， 李予国,2❋❋， 李建凯， 朱心宇

(1.中国海洋大学海洋地球科学学院， 海底科学与探测技术教育部重点实验室， 山东 青岛 266100；2.青岛海洋科学与技术试点国家实验室， 海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室， 山东 青岛 266237)

海洋电磁技术是一种新兴的海洋地球物理探测手段，在海洋油气资源勘探、海底天然气水合物调查和海底地质结构研究等方面的应用前景广泛而巨大。在海洋电磁探测中，通常以船舶作为载体，用于海底电磁采集站的释放和回收以及海洋电磁发射源的拖曳等。船舶在海水中航行会引起周围海水运动产生尾流，海面也常伴生海浪，它们因切割地磁场而产生感应电磁场。该类感应电磁场是海洋电磁探测的主要噪声干扰，忽略此类噪声可能会对海洋电磁探测方法的应用带来不利影响。此外，随着现代科技的发展，船舶隐身性能越来越得到重视，使得船舶的特征信号难以捕捉，船舶尾流由于其难以消除成为一种新的船舶信号源，海浪是船舶尾流信号的主要噪声来源，实际情况下，船舶在海表面航行时是以海浪为背景的而不是平静海面。因此，研究海浪感应电磁场和尾流感应电磁场的特征差异以及海浪背景下的尾流感应电磁场模拟方法，具有理论和现实意义。

海浪运动感应电磁场的研究始于二十世纪五、六十年代。Weaver[1]基于表面波理论建立了二维无限水深海浪感应磁场模型，模拟结果表明感应磁场大小与海浪的波高和波长有关。Groskaya等[2]导出了浅海表面重力波感应磁场的解析解。Chaillout等[3]利用有限元方法获得有限水深海浪感应电磁场数值解，为采用实测离散海浪速度模拟感应电磁场奠定了基础。张自力等[4]分析了二维无限水深海浪感应磁场的频谱特征。朱晓建等[5]将不同频率的海浪感应磁场叠加，得到了三维无限水深多频海浪感应磁场响应。张宝强[6]采用直接微分法计算三维有限水深单频海浪感应电磁场。林智恒等[7]用毕奥萨法尔定律求解二维海浪感应磁场。周春等[8]用格林函数法求解海浪感应磁场。Yaakobi等[9]讨论了三维有限水深多频海浪感应磁场在空气中沿水平方向的变化规律。目前三维有限水深海浪感应电磁场的研究尚不完善。比如，单一频率海浪感应电磁场的研究较多，实际上海浪是一种多频海水运动，研究和分析多频海浪感应电磁场模拟方法及其特征更符合实际情况，这方面的研究工作有待深入。

开尔文尾流是船舶在海平面航行时引起的一种海水扰动(见图1)，其由向船后方传播的横断波以及往四周辐散的扩散波组成，两者相干涉形成“V”形区域的边界，称为开尔文臂[10]。Dan[11]建立了无限水深水面船舶和水下航行器尾流感应电磁场模型，结果表明尾流感应电磁场是可测的。Zou等[12]探讨了航空磁测尾流感应磁场的可行性。Yaakobi等[9]等导出了有限水深水面船舶感应磁场在空气层中的表达式。张伽伟等[13-15]模拟了浅海中水面船舶和水下航行器感应电磁场响应。在尾流感应电磁场的研究中，为了简化起见，往往只考虑边界面上磁场切向分量连续性条件，而忽略了电场切向分量在分界面处的连续性。这会导致尾流感应电场模拟结果在不同介质分界面处不连续，以及产生较大误差等。

图1 开尔文尾流示意图

在海浪背景下船舶尾流感应电磁场研究方面，朱晓建等[5]计算了无限水深条件下风浪中尾流感应磁场，但没有考虑海底介质的影响。Yaakobi等[9]分析了有限水深条件下空气层中海浪感应磁场和尾流感应磁场的特征差异，但只导出了空气层中感应磁场表达式，这可用于分析航空观测的海浪和尾流感应磁场资料。

本文对前人的研究方法进行了改进，考虑了分界面处电场连续性以及海底介质的影响，推导出新的海浪和尾流感应电磁场表达式，完善了有限水深情况下海浪感应电磁场和尾流感应电磁场模拟方法。在海浪感应电磁场模拟中，考虑到海浪的多频性和随机性，我们将各种频率随机初相位的单频海浪感应电磁场线性叠加，得到多频海浪感应电磁场响应，并给出了空气层、海水层和海底介质中海浪感应电磁场表达式。本文借鉴海浪感应电磁场表达式推导方法，在求解尾流感应电磁场时应用电场连续性条件，解决尾流感应电场在边界处不连续问题。本文模拟了有限水深海浪和尾流感应电磁场传播特性，并分析了海浪对尾流感应磁场的影响。

1 海浪和尾流感应电磁场

考虑如图2所示有限水深地电模型。假设空气层、海水层和海底介质的电导率分别为σ0、σ1和σ2，相应的介电常数分别为ε0、ε1和ε2，海水层厚度为d。假定船体以恒定速度U沿x轴负方向运动，以使得尾流运动方向为x轴正方向，α为风向与x轴夹角。对于小尺度海浪运动和船舶尾流运动而言，可以假定研究区域内地磁场为一固定值，且有：

图2 空气-海水-海底三层地电模型

(1)

式中：F为地磁场强度；φ为地磁北极与x轴正方向的夹角；I为地磁倾角。假设海浪和船舶尾流的运动速度分别为Vw和Vs，并假定海浪和尾流之间的相互作用可以忽略，则海浪和尾流运动感应电场可以表示为E=(Vw+Vs)×(B+F)，这里B为感应磁场强度。由于地磁场强度(F)远大于感应磁场强度(B)，于是海浪和尾流感应电场可以近似为E=(Vw+Vs)×F。海浪和尾流感应电磁场满足如下麦克斯韦方程：

(2)

(3)

式中：μ为磁导率，本文假设所有介质层中磁导率均为真空磁导率。由式(2)和式(3)可得到海浪和尾流运动感应磁场满足的微分方程：

(4)

在求解上述微分方程(4)之前，我们先给出三维海浪及尾流的速度场表达式。

Higgins等[16]将三维海浪视为由M×N个振幅为am,n、角频率为ωm、随机相位为εm,n、传播方向与x轴夹角呈θn的正弦波线性叠加而成，于是三维海浪速度场可以表示为[13]:

(5)

式中，

(6)

(7)

(8)

以固定速度U行驶的船舶尾流速度场可以表示为[17]：

(9)

式中，

(10)

(11)

尾流速度场角频率ω0=k0Ucosθ，尾流波数k0=(gtanhk0d/U2)sec2θ，Y(x,z)是描述船形的函数。对于细长型船体，Y(x,z)可以表示为[11]：

(12)

式中：D为船体吃水深度；l为半船长。

下面，我们分别求解三维海浪和尾流感应电磁场微分方程(4)。

海水运动感应电磁场是由海水速度场引起的，于是其感应电磁场也符合简谐波函数形式[1]。且可以表示为：

ei(ωmt-kmxcosθn-kmysinθn+εm,n)。

(13)

ei(ωmt-kmxcosθn-kmysinθn+εm,n)。

(14)

类似地，船舶尾流感应电磁场可以表示为：

ei(ω0t-k0xcosθ-k0ysinθ)dθ。

(15)

ei(ω0t-k0xcosθ-k0ysinθ)dθ。

(16)

其中：hθ,m,n(z)和eθ,m,n(z)表示海浪感应磁场和感应电场表达式中待求解的部分；hθ(z)和eθ(z)表示尾流感应磁场和感应电场表达式中待求解部分，它们要根据速度场通过求解麦克斯韦方程确定。

海浪速度场和尾流速度场与其激发的感应电磁场之间具有相同的简谐波函数形式，且海浪感应电磁场表达式(13)和式(14)指数项中随机相位εm.n不参与运算，故可令：

q=q(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(17)

h=h(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(18)

e=e(z)ei(ωt-kxcosθ-kysinθ)。

(19)

其中：q(z)代指已知项qw(z)和qs(z)；h(z)代指海浪和尾流感应磁场表达式中待求解项hθ,m,n(z)和hθ(z)；e(z)代指海浪和尾流感应电场表达式中待求解项eθ,m,n(z)和eθ(z)。将式(18)代入式(4)，可得各介质层中感应磁场微分方程的通解：

(20)

将式(20)和式(19)代入式(3)，可得感应电场表达式：

(21)

2 海浪背景下尾流感应电磁场仿真计算

本文编写了模拟有限水深海浪背景下尾流电磁场计算程序，其流程图如图3所示。使用该程序可以计算有限水深海浪感应电磁场、尾流感应电磁场以及海浪背景下的尾流感应磁场。

图3 模拟算法流程图

考虑由空气层、海水层和海底介质构成的三层地电模型，假设空气、海水和海底介质的电导率分别为σ0=10-12S/m、σ1=5 S/m和σ3=0.04 S/m，空气、海水和海底介质的介电常数分别为ε0=8.85 pF/m、ε1=81ε0和ε2=18ε0，海水厚度d=40 m。并假定地磁场强度F=5×104nT，磁倾角I=π/3，磁北与x轴夹角φ=π/4。

2.1 海浪感应电磁场

假设风速U19.5=10 m/s，风向α=π/4，选择频率个数和方向分割数M=N=50，即模拟海浪的频率范围是0.02～1 Hz。计算得到的t=0时刻海平面下方1 m处海浪感应磁场Bx分量分别沿x轴和y轴的变化曲线如图4(a)和图4(b)所示。由图4(a)和图4(b)可知：(1)感应磁场分量Bx在水平方向上基本呈等幅度变化，幅值范围大体在±0.4nT。(2)由于风向为π/4，所以感应磁场Bx在x轴方向和y轴方向具有相似的传播特性。图4(c)和图4(d)分别表示海浪感应电磁场各分量在点(x=1,y=1)处沿垂直深度变化曲线。从图中可以看出，(1)由于空气层、海水层和海底的电性差异，导致各介质中感应磁场衰减程度不同。空气层中感应磁场衰减速度快于其在海水层和海底中的衰减。(2)海浪感应电场在海面处具有最大值，随深度增大呈指数衰减。

图4 海浪运动感应电磁场

2.2 尾流感应电磁场

假设船速U=10 m/s，半船长l=50 m，船体吃水深度D=6 m，利用本文所述程序计算得到的t=0时刻海表面下方1 m处尾流感应磁场Bx分量分别沿x轴和y轴的变化曲线如图5(a)和图5(b)所示。由图5(a)和(b)可知：(1)沿x轴Bx分量曲线表现为先迅速增大，然后缓慢衰减的正弦波，其衰减速度随着距离增大而逐渐变小，在2 km远处量级为102pT，高于目前仪器测量的下限。(2)Bx分量沿y轴的变化曲线存在两个极值，并且极值间隔随x取值的增大而变大，但极值大小随x取值增大而减小，这与尾流速度场“V”形结构有关。图5(c)和(d)分别表示在点(x=1,y=1)处尾流运动感应电磁场沿垂直深度变化曲线。由图可知，(1)开尔文尾流同样为表面重力波，尾流感应磁场和感应电场最大值均出现在海面处。(2)在空气中，尾流感应磁场在垂直方向上随着观测点逐渐远离海表面按指数规律衰减，且其衰减得比在海水和海底中要快。(3)尾流感应电场水平分量在分界面处连续，这再次说明本文导出的感应电磁场的系数表达式是正确的。另外，海浪和尾流感应电磁场在垂直方向上的变化特征相似。

图5 舶尾流运动感应电磁场

2.3 海浪背景下尾流感应磁场

下面，我们模拟有限水深海浪背景下尾流感应磁场。假设船速U=10 m/s,风速U19.5分别10,14和18 m/s，其它参数与前述相同。利用本文所述方法计算得到三种不同风速海浪背景下t=0时刻海平面下方1 m处尾流感应磁场Bx分量沿x轴的变化曲线，如图6所示。由图6可知：随着风速增大，尾流感应磁场Bx噪声变强，海浪背景下尾流感应磁场分量Bx沿x轴衰减趋势变缓，当风速达到18 m/s时，Bx曲线基本呈等幅度变化，表明此时尾流感应磁场基本上被海浪感应磁场所覆盖。

图7为船速和风速分别为U=10和U19.5=10 m/s时船后方三个不同距离处与y轴平行剖面上尾流感应磁场Bx分量曲线。比较图7和图5(b)可知，高频海浪感应磁场噪声的存在使得尾流感应磁场曲线不光滑，但尾流磁场的两个极大值仍然清晰可见。在极值点所代表的开尔文臂区域之外，尾流感应磁场易被海浪感应磁场所覆盖，这表明海浪背景下尾流感应磁场在y方向的特征范围是以开尔文臂的最外侧为边界的。

3 结论

本文考虑了分界面处感应电场连续性以及海底介质的影响，推导出新的海浪和尾流感应电磁场表达式，解决了尾流感应电场分界面处不连续问题，完善了有限水深情况下海浪和尾流感应电磁场模拟方法，并编写了计算程序，实现了海浪背景下开尔文尾流感应磁场仿真计算。算例表明：

(1)当风速U19.5=10 m/s及船速U=10 m/s时，海表面处海浪和尾流运动感应磁场量级范围是10-1～1 nT，感应电场量级范围是10～102μV/m，海水运动感应电磁场是海洋电磁技术应用时不可忽略的干扰源。

(2)海浪感应磁场和尾流感应磁场在水平方向的传播特征具有明显差别，而在垂直方向上两者变化特征相似。因此，在分析海浪背景下船舶尾流磁场信号时，需要对比分析平面观测结果。

(3) 船舶尾流感应磁场在开尔文臂区域幅值最大，风速较小时其在海浪背景下能够保持较好的特征，因此在研究海浪背景下船舶信号识别时，应以开尔文臂区域为重点。另外，海浪可能会对尾流感应磁场产生明显影响，尤其是风速很大时，尾流感应磁场可能完全淹没在海浪感应磁场中。

附录：待定系数表达式的推导

为了求得待定系数b1，a2，b2，a3，必须利用如下边界条件：(1)海水面(z=0)及海底面(z=-d)处感应磁场水平分量以及垂直分量连续；(2)海水面及海底面处感应磁场垂直分量对于z的偏导数连续；(3)海水面及海底面处感应电场水平分量连续。利用以上边界条件，可以得到：

(A-1)

(A-2)

式中：

A=((δ0-δ1)(δ2-δ1)e-δ1d-

(A-3)

(A-4)

类似地，可得到：

a2x=(c1eδ1dΦx+c2Ψx)/B。

(A-5)

a2y=(c1eδ1dΦy+c2Ψy)/B。

(A-6)

b2x=(c3e-δ1dΦx+c4Ψx)/B。

(A-7)

b2y=(c3e-δ1dΦy+c4Ψy)/B。

(A-8)

式中：

B=c2e-δ1d-c4eδ1d，

在求得系数a2x，a2y，b2x，b2y后，根据电磁场边界条件可求得系数b1x，b1y，a3x和a3y。

在求得所有待定系数后，可以得到感应电磁场表达式，然后需要将代指项还原。对于海浪感应电磁场，将表达式中的k和ω还原为海浪的波数和角频率，将P和Q还原为通过海浪速度场qw(z)求取的Pw和Qw，在指数项加上随机相位εm,n后进行叠加运算，可得海浪感应电磁场响应。同样的，对于尾流感应电磁场，将表达式中的k和ω还原为尾流的波数和角频率，将P和Q还原为通过尾流速度场qs(z)求取的Ps和Qs，然后对表达式进行积分运算，可得尾流感应电磁场响应。

在以上推导待定系数表达式的过程中，我们利用了分界面处电磁场连续性边界条件，这保证了计算得到的尾流感应电场水平分量在边界处连续。如果不考虑分界面处电场边界条件时待定系数表达式中将不含有与Q有关的项。