微积分教学中几个问题的思考

马玉梅，刘 恒，周文书，王金芝，齐淑华

(大连民族大学 理学院，辽宁 大连 116650)

产生于16世纪的微积分是大学一年级相关专业的一门重要基础课，学生通过基本微积分理论的学习，逐步提高分析问题与解决问题的抽象思维能力，为专业课程的进一步学习奠定基础。学习数学追求严谨与美，解题不仅要求正确，逻辑清晰，思路简洁也是必要的基本功。随着信息时代计算机的普及，很多数学问题或者与数学紧密相关的问题常常在互联网上展现。适当的快捷技巧是数学美的体现，但是经典数学的美不会随着时间的流逝而褪色，符合数学的基本法理法则是教好数学学好数学的前提。

1 连续函数

在教材[1-4]中函数f在某点连续有如下定义:

1.1 一元函数连续

定义1.1 一元函数f(x)在点x0连续是指: 设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)⊂R内定义, 若对任意给定ε>0, 存在δ>0, 当|x-x0|<δ时有: |f(x)-f(x0)|<δ。

下面的定义取自Patrick M. Fitzpatrick[5]。

定义1.2 一元函数f(x)在点x0连续定义是指: 设函数f(x)在集合D⊂R上定义, 若对任意给定ε>0, 存在δ>0, 当x∈D并且|x-x0|<δ时，有: |f(x)-f(x0)|<δ。

定义1.1与定义1.2有本质不同，定义1.1规定函数的定义域构成一个区间(连通集合),在该区间讨论函数趋势；定义1.2强调了函数的连续首选依赖于本身定义的集合D，然后再考虑函数趋势。这里D可能是任何平面点集, 不一定是连通集。

1.2 二元函数连续

国内外教材均给出以下定义：

定义1.3 二元函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续定义是指: 设函数f(x,y)在点集D⊂R2上定义,P0∈D(它或者是D的聚点, 或者是D的孤立点)。若对任意给定ε>0, 存在δ>0,当(x,y)∈D并且d(P,P0)<δ时有: |f(x,y)-f(x0,y0)|<δ。

文献[5]中一元函数、二元函数关于连续的定义是统一的，显然具有更广泛的意义。

如果D是有限点的集合，那么任何函数在D上都连续。进一步一个直观的结论是每一个数列都在自然数集上连续。

事实上：设an=f(n)，对于任意n0∈N，任意给定ε>0，取0<δ<1时，n∈N∩{n,|n-n0|<δ}时, 有n=n0。于是|an-an0|=0<ε。

定义1.3除了有定义1.2的功能外主要是强调多元函数本身定义域的广泛性，可以是曲线或曲面等等。 笔者建议数学专业教材《数学分析》中一元和多元函数的连续定义应该统一。这样不仅教材上下册中连续函数概念一致顺延，同时也使学生加深理解函数的连续性是相对的概念，并为后续课程奠定基础，易于学生理解和掌握拓扑学、泛函、流形上的微积分等相关课程。

2 无穷小相减可否等价替换

在以往教学中，无穷小加减情况一般不允许等价替换，任何微积分教科书中都有说明，此处省略。但在一些资料上仍然见到如下错误命题：

错误命题2.1[6]设α,β,α',β'都是无穷小量，若α～α',β～β'，且α,β不是等价无穷小，则：α-β可以用α'-β'替换。

文献[7]给出数列情形的反例说明以上命题是错误的。本文给出另外一个反例。

当x→0时，α～α',β～β',且α,β不是等价无穷小。

那么，什么情况下无穷小量的差可以等价替换呢?事实上有如下结论(见参考文献[4，8], 本文给出比较简洁的证明)。

证明:

(1)

(2)

α-β可以用α'-β'替换。

虽然无穷小减法情况的等价替换问题看上去简单，但容易出错，多年来的实践证明，对于初学者加减法时不建议使用等价替换，以免发生不必要的错误。

3 伯努利不等式问题

常用的伯努利不等式为：(1+h)n≥1+nh，(h≥0)；

在一般的教材中为(1+h)n≥1+nh，(h≥-1)；

更一般的[1]给出(1+h)r≥1+rh，(h≥-1,r∈R+)；

文献[9]给出(1+h)n≥1+nh当且仅当h≥-2,该证明的后半部分有一处逻辑顺序需要更正。

定理3.1 (1+h)n≥1+nh当n是偶数时恒成立。当n是奇数时当且仅当h≥-2成立。

证明: 充分性:假设h≥-2。

(1) 当n是偶数时, 当h≥-1时根据原来不等式有(1+h)n≥1+nh。

当h<-1时, (1+h)n≥0≥1-n≥1+nh，即当n是偶数的时候对h没有限制。

(2) 假设n是奇数, 当n=1时等号成立,n=3时, (1+h)3≥1+3h。

假设n=2k-1时有(1+h)2k-1≥1+(2k-1)h,

这样(1+h)2k+1=(1+h)2k-1(1+h)2≥[1+(2k-1)h](1+2h+h2)≥1+(2k+1)h+

h2(4k-2+(2k-1)h),

而:4k-2+(2k-1)h≥4k-2+(2k-1)(-2)=0，

于是:(1+h)2k+1≥1+(2k+1)h。

反之, 如果存在h0<-2, 记:h0=-2-α,α>0。

由于n是奇数, 这样:

(1+h0)n-(1+nh0)=(-1-α)n-(1-2n-αn)=-(1+α)n-(1-2n-nα)。

所以当(1+h)n≥1+nh必有h≥-2。

下面给出Bernoulli 不等式的应用: Jacobsthal不等式 (Jacobsthal’s inequality)。

注3.3 在研究神经网络的稳定性分析时用到了Jacobsthal不等式[10]，而Jacobsthal不等式的理论意义在于其等价Young不等式(p为自然数时)。

因此, 当p为自然数时, 上面不等式可以做到a≥-1,b>0。