Gram-Charlier展开在生产和套期保值的应用

陈玲菊

(1.闽江学院数学与数据科学学院，福建 福州 350108；2.生态与资源统计福建省高校重点实验室，福建 福州 350108)

0 引言

近年来，Gilbert等应用一种负指数效用函数和3阶的泰勒展开近似式研究偏度对套期保值决策的影响[1]。由于泰勒展开在3阶截尾，所以就无法考虑更高阶的影响，如峰度。类似地，Lien运用负指数效用函数分析偏度对最佳产量和套期保值决策的影响中使用的偏正态分布不是厚尾[2]。这些局限性启发了Lien 和 Wang 使用厚尾的偏学生分布，但是该分布的4个系数并不一一对应于股价的前4阶矩，这样就无法分离4阶矩各自在策略中的作用[3]。基于此，运用Gram-Charlier (GC) 展开式作为半参数工具来放松通常的正态分布假设。由于GC分布的偏度和峰度对应其参数，所以具有正态分布所没有的弹性。因此，被广泛应用于金融数据分析。例如，Leon用GARCH-GC展开式模型研究股票和外汇市场，发现动态高阶矩模型具有更好的拟合预测能力[4]。王鹏和王建琼利用GC展开式研究中国股票市场的高阶矩波动特征，其结果表明能描述偏度和峰度时变特征的高阶矩波动模型有着更强的刻画现实的能力[5]。更多关于方差及高阶矩在套期保值和资产分配等金融决策问题中的应用，可参考文献[6-9]。

基于以上的研究，本文尝试将GC展开式应用于生产和套期保值模型。由于GC分布的偏度和峰度对应不同的参数，所以可以将偏度和峰度在套期保值中各自的作用分离出来，因此具有比较大的弹性。文章的主要工作是在将效用函数进行GC展开的基础上，讨论最佳产量及最佳套期保值策略。由于本文是第一次将GC展开应用于研究偏度和峰度对套期保值的影响，所以是对套期保值研究方法的一个拓展的一个尝试，得到的结论也具一定的一般性。

1 基本模型

(1)

其中，H是远期合同中出售的产品数量。

参照文献[2-3]定义效用函数具有指数形式U(ω)=-exp(-kω)，其中，ω为利润，k>0为Arrow-Pratt 风险规避参数。

(2)

定理1效用函数的均值可以表示为

证明由(2)及指数效用函数可得

(3)

ξ(x,μπ,σπ,k)=cφ(x,μπ,σπ,k)。

(4)

因此, 有

(5)

(6)

(7)

最后，由式(3)-式(7)可得

证毕。

在定理1给出的效用函数的GC展开式的基础上，讨论最佳产量与最佳套期保值策略。

2 最佳产量

定理2存在最佳产量Q*,使得C′(Q*)=P。因此，即期价格的偏度和峰度对最佳生产决策没有影响。

证明注意到μπ=μp(Q-H)+PH-C(Q),σπ=σp|Q-H|,Sπ=Sp，且

(8)

由于均值-方差套期保值者只考虑均值和方差而不考虑偏度和峰度，所以Sp=0，Kp=3，因此有lnΔ(σπ,Sπ,Kπ)=0。对比均值-方差方法，式(8)中GC展开方法包含特殊项lnΔ(σπ,Sπ,Kπ)。接着对Q和H求偏导，可以得到其一阶条件如下：

(9)

(10)

注意到∂σπ/∂H=σpsign(H-Q)=-∂σπ/∂Q，且

3 最佳套期保值策略

讨论最佳套期保值决策的一阶条件。

首先定义y=H-Q。当y>0时为对冲过度，而y<0时为对冲不足。式(10)可以改写为

(11)

令x=kσpy，则

(12)

令y*=H*-Q*是最佳的对冲过度(当y*>0)或对冲不足(当y*<0)量。如果Sp=0,Kp=3，则有

此时，y*是期货市场的最佳远期头寸,即最佳投机交易量。进一步地，当P=μp时y*=0，且y*独立于Sp和Kp，这意味着当远期交货价格等于即期现货价格时，不存在投机，即最佳期货头寸等于商品产量。

4 结论

本文对一类指数型效用函数的均值进行正态分布的GC展开如定理1所示，然后利用定理1中效用函数均值的一阶条件得到了最佳产量只取决于成本C(·)和远期价格P的结论。由于成本是严格的凸函数，所以最佳产量取值具有唯一性。这些结论在当未来的现货价格服从偏正态分布或偏t分布时仍然成立[2-3]。同时，运用定理1中效用函数均值的一阶条件，文章给出了投机不存在的条件，即在Sp=0,Kp=3条件下，当远期交货价格等于即期交货价格均值时，最佳期货头寸等于商品产量。此时投机交易量与峰度或者偏度无关。 本文是GC展开式在生产与套期保值中应用的初步探讨。关于利用GC展开式研究偏度和峰度在套期保值策略中的应用是未来研究工作的重点。