c-空间范畴的一个Cartesian闭满子范畴

2020-11-16 06:27车铭静
关键词:偏序子集范畴

车铭静, 寇 辉

(四川大学 数学学院, 四川 成都610064)

1 预备知识

c-空间是由Erné[1-2]提出的一类特殊的拓扑空间,该空间的特征是其拓扑作为完备格是完全分配格.domain理论是研究函数式程序指称语义的数学工具,典型特征是序理论、拓扑学及计算机科学相互 交 叉 融 合[3-6], 其 主 要 对 象 是 连 续domain[7-8].每个连续 domain的Scott拓扑恰好是完全分配格[3],因此c-空间是连续domain这一重要概念的推广.很多作者已对这一空间进行了研究[1,9-11],但很少有关于 c-空间范畴性质方面的研究.本文通过逼近的方式刻画了c-空间,并定义一类特殊的c-空间,称之为并半格c-空间,该结构是对domain理论中连续格的推广.特别地,本文借助文献[12]中定向空间的概念,运用c-空间的逼近式刻画,证明由所有并半格c-空间及连续映射构成的范畴是c-空间范畴的Cartesian闭满子范畴.

先介绍需要用到的基本知识[7,13-14].设P是一个非空集合,≤是P上的关系.称≤是P上的偏序,若≤满足自反、传递和反对称性.此时,称(P,≤)是一个偏序集,在关系≤明确的时候,简记为P.设A是偏序集(P,≤)的一个非空子集,记

且↑x和↓x分别表示↑{x}和↓{x}.一个非空子集A⊆P称为是定向的,若任给x,y∈A,存在z∈A,使得z∈↑x∩↑y.称x∈A是A的上确界,如果x是A的一个上界并且小于或等于A的任意上界;特别地,记上确界x=sup A或者x=∨A.若偏序集的每个定向子集都有上确界,则成为定向完备偏序集,简称为dcpo.

设P是一个偏序集.一个子集U⊆P称为Scott开集,若对任意定向集D⊆P,∨D存在且∨D∈U意味着D∪U≠Ø.偏序集P的所有Scott开集构成一个拓扑,称为Scott拓扑并记为σ(P).

接下来介绍T0空间的特殊化序.设X是一个T0拓扑空间,其拓扑通常记为 O(X).设 A是X的子集,记A为A的闭包,A°为A的内部.X上的特殊化序定义如下:

显然,T0空间的特殊化序是偏序,且对于任意开集U⊆X,U=↑U,↓x=x¯,T0空间之间的连续映射保持特殊化序.

若无特殊说明,T0空间总是看成关于特殊化序的偏序集,其上关于序理论的概念,比如上集、下集、定向集等都由特殊化序定义.

定义1.1设X是一个拓扑空间,称映射ξ:J→X为X的一个网,若J是一个定向集.通常简记网为(xj)或(xj)j∈J.任给 x∈X,称网(xj)关于拓扑O(X)收敛到 x,记为(xj)→x或 lim(xj)≡x,如果(xj)终在x的每个开领域中.

显然,T0空间X的每个定向子集D⊆X都可被看成一个网,其子标集就是D自己.由上述定义,定向集D收敛到x(记为D→x或者limD≡x),当且仅当x的每个开领域交D不等于空集.容易验证,∀x,y∈X,xy当且仅当{y}→x.令 D(X) ={(D,x):x∈X,D是 X的定向子集并且 D→x}.

接下来介绍一类特殊的T0空间.

定义1.2[12]设X是一个T0的拓扑空间.

1)一个子集U⊆X称为定向开集,若任给(D,x)∈D(X),x∈U⇒D∩U≠Ø.记 X的所有定向开集组成的集族为 d(X).显然,O(X)⊆d(X).

2)称T0空间X是定向空间,如果每个定向开集都是X中的开集,等价地,d(X)=O(X).总把定向空间X上的拓扑记为d(X).

注 1.31) T0拓扑空间的所有定向开集组成一个拓扑,赋予该拓扑则是一个定向空间[12].

2)每个偏序集赋予Scott拓扑是一个定向空间[12].因此,定向空间是比 domain理论的基本结构dcpo更一般的模型.

3)定向空间等价于文献[15]中的monotone determined space.

设X、Y是2个T0空间.函数f:X→Y称为定向连续,如果它是单调的并且保持X的所有定向集的极限; 等 价 地, ( D, x) ∈ D(X) ⇒ (f(D),f(x))∈D(Y).

引理 1.4[12]设 X、Y是 2个T0空间,函数f:X→Y是 X、Y之间的映射.

1)映射 f定向连续当且仅当∀U∈d(Y),f-1(U)∈d(X).

2)若X、Y是定向空间,则映射f连续当且仅当它是定向连续的.

记范畴DTop表示以所有定向空间为对象、以所有(定向)连续函数为态射构成的范畴.文献[12]证明范畴 DTop是T0空间范畴的余反射子范畴.

设X、Y是2个定向空间.记X×Y为集合X、Y的笛卡尔乘积.根据X、Y的特殊化序,定义该乘积上一个自然的偏序如下:

特别地,称该序为X×Y上的点态序.文献[12]在X×Y上定义一个拓扑空间X⊗Y如下:

1) X⊗Y承载集就是X×Y;

2) X⊗Y的拓扑以如下方式生成:任给≤-定向集 D⊆X×Y及(x,y)∈X×Y,记 D⇒(x,y)表示π1D→x且π2D→y.子集U⊆X×Y是开的当且仅当对任意按上述方式定义的极限 D⇒(x,y),(x,y)∈U⇒D∩U≠Ø.

令O(X×Y)表示 X和 Y的乘积拓扑,令O(X⊗Y)表示按上述方式生成的拓扑.容易看出,O(X×Y)⊆O(X⊗Y)恒成立,且由乘积拓扑O(X×Y)诱导的序就是点态序.

定理 1.5[12]对任意 2个定向空间X和Y,X⊗Y是一个定向空间满足:

2) 任给定向集D⊆X⊗Y及(x,y)∈X⊗Y,D→(x,y)当且仅当D⇒(x,y);

3) X⊗Y是范畴DTop中X和Y的范畴乘积.

以后,定向空间X⊗Y记为d(X×Y).

设 X、Y是2个定向空间.令YX表示X、Y之间的所有(定向)连续函数之集.YX上存在一个自然的诱导序:

该序称为YX上的点态序.文献[12]中在YX上以如下方式定义了一个拓扑空间[X→Y]:

1) [X→Y]的承载集就是 YX;

2) [X→Y]的拓扑按如下方式生成:子集U⊆YX是开集当且仅当对任意≤-定向子集{fi:i∈I}⊆ YX及f∈ U, 若 对 任 意x∈ X,(fi(x))i∈I→f(x),则有U∩{fi:i∈I}≠Ø.

记O(YX)表示按上述方式定义的所有开集之集并令[X→Y]=(YX,O(YX)).

引理 1.6[12]任给2个定向空间X和Y,[X→Y]是一个定向空间且满足

对所有x∈X成立.任给子集U⊆ [X→Y],U∈O(YX)当且仅当对任意-定向子集{fi:i∈I}⊆YX,若(fi)i∈I→f且 f∈U,则存在 i0∈I使得fi0∈U.

从现在开始,称空间[X→Y]为定向空间X和Y的函数空间,并记d[X→Y]=O(YX).特别地,文献[12]证明了如下重要结果.

定理1.7定向空间范畴DTop是Cartesian闭范畴,其中,任意2个定向空间的范畴乘积及对应指数对象方别是X⊗Y和[X→Y].

因此,定向空间范畴满足作为函数式程序指称语义数学模型的基本条件,是对domain理论基本结构的推广.

2 c-空间及其相关刻画

连续domain 是domain理论中最重要的结构,其核心特征是每个元能够被逼近[7].Erne[1-2]注意到连续domain关于Scott拓扑的性质,提出了连续domain的一种推广结构,称之为c-空间.其具体定义如下.

定义2.1设X是一个T0拓扑空间.称X是一个c-空间,如果任给x∈X及x的开邻域U,存在y∈U使得 x∈(↑y)°;等价地,{(↑y)°:y∈X}是拓扑空间X的一个基.

定理 2.2[1-2]一个 T0拓扑空间X是一个c-空间当且仅当其拓扑O(X)是一个完全分配格.

由于每个连续domain的Scott拓扑是完全分配格[7],所以连续 domain关于Scott拓扑是一个c-空间.因此,c-空间是连续domain的推广,并有大量学者研究了该空间.比如,Ershov[10-11]在1993年和1997年以α-空间的名称研究了c-空间,Keimel[9]于 2008年把c-空间与拓扑锥的概念相结合提出c-锥概念.

事实上,下面将借助定向空间的性质对c-空间给出类似于连续domain的刻画.

命题2.3每个c-空间都是定向空间.

证明设U⊆X是定向开集.下证U是X的开集.任给 x∈U,令 A={y∈X:x∈(↑y)°}.由 c-空间的定义知,A是定向的且A→x.因为U是定向开集,由定义1.2的 1),存在 a∈D∩U使得 x∈(↑a)°⊆U,所以U是X中的开集.这表明X的所有定向开集都是开集,因此X是定向空间,见定义1.2的2).

设X是一个定向空间,∀x,y∈X.称x逼近y,记x≪y,如果下述条件成立:对任意定向集D⊆X,若D→y,则存在d∈D,使得xd.对任意 x∈X,记

注2.4由于每个偏序集赋予Scott拓扑是定向空间,上述逼近关系在Scott拓扑下等于偏序集上的way-below关系.

下面关于逼近关系的性质是显然的.

命题 2.5设 X是一个定向空间,x,y,z,t∈X.则下述2

条成立:

引理2.6设X是一个c-空间,则下列各条成立:

证明1) 设 x,y∈X且 x≪y.令 Ay={a∈X:y∈(↑a)°},则由X是c-空间,有 Ay是一个定向集且Ay→y.由逼近关系的定义,存在a∈Ay使得xa.从而,y∈(↑a)°⊆↑a⊆↑x.因此,y∈(↑x)°.反之,设 y∈(↑x)°.任给定向集 D⊆X,若D→y,则 D∪(↑x)°≠Ø.取 d∈D∪(↑x)°,则 xd,从而由逼近关系的定义有x≪y.

引理2.7设X是一个T0空间,则下列各条成立.

1) X是一个c-空间;

证明1)⇒2) 由命题2.3,X是一个定向空间.由引理 2.6,对任意(↑a)°}.由 c-空间的定义是一个定向集且

2)⇒3) 显然.

3) ⇒1) 首先证明,对任意 a,s∈X,s≪a⇒∃s′∈X,s≪s′≪a.

令 W={z∈X:∃w∈X,z≪w≪a},W是一个定向集且W→a.由已知条件非空对所有x∈X成立,因此,W≠Ø.任给 z1,z2∈W,则存在 w1,w2∈X使得 zi≪wi≪a,i=1,2.由已知条件,存在定向集使得Da→a.由逼近关系的定义,存在b1,b2∈Da使得因为 Da定向且包含于所以存在使得注意到 zi≪b(i=1,2),由上面相同的理由,存在z≪b使得 z1,z2z.这表明,b∈W且是 z1、z2的上界.因此,W是一个定向集.下证W→a.设V⊆X是a的一个开邻域.由上面的证明,定向集且Da→a.从而存在 c∈V∩Da.再次运用条件3),存在定向集使得Dc→c.从而存在e∈Dc∩V.这表明e∈W∩V,即W→a.由于s≪a,故存在z∈W使得由 W的定义,存在 s′∈X使得 z≪s′≪a.从而,s≪s′≪a.

接下来,设a∈U且U⊆X是a的开邻域.则存在 z′∈W,使得 z′≪a且 z′∈U,从而U.下证是开集即可.由于X是定向空间,即证是定向开集.设D⊆X且由上面的证明,存在y∈X使得z′≪y≪x.从而存在d∈D使得即.命题得证.

推论2.8设X是一个c-空间,则对任意x∈

证明由定理是定向集且由逼近关系的定义,x显然是的一个上界.假设y∈X是的另一个上界,且则 x∈X\↓y.注意到从而矛盾.

结合推论,当X是一个赋予Scott拓扑的偏序集、dcpo、完备格等,定理就是连续偏序集、连续domain、连续格等结构的定义或者等价刻画[7].

命题2.9设X是一个c-空间.则对任意定向空间Y,X⊗Y=X×Y.这里,X×Y表示拓扑乘积.

证明由定理1.5,X⊗Y是定向空间且其特殊化序等于点态序≤.记O(X×Y)表示(拓扑)乘积空间的拓扑.任给 U∈d(X),V∈d(Y)及定向集D⊆X×Y,如果π1D→x∈U且π2D→y∈V,则存在d1∈π1D∩U及 d2∈π2D∩V,从而存在 d3∈π1D及d4∈π2D满足(d1,d4),(d3,d2)∈D.由 D是定向的,存在(d5,d6) ∈D满足(d1,d4),(d3,d2) ≤(d5,d6).这表明(d5,d6)∈D∩(U×V).因此,U×V∈d(X×Y),即 O(X×Y)⊆d(X⊗Y).接下来证明d(X×Y)⊆O(X×Y).设(x,y)∈W∈d(X⊗Y).令W(y) ={z∈X:(z,y)∈W}.则 x∈W(y).设 D⊆X是一个定向集且 D→z∈W(y).令 Dy={(d,y):d∈D},则 Dy是 X⊗Y的定向集且 Dy⇒(z,y),从而存在 d∈D,使得(d,y)∈W,即 d∈D∩W(y).因此,W(y)是x的开邻域.因为X是一个c-空间,故存在 z∈W(y)使得用上面的方法可证 W(z) ={t∈Y:(z,t)∈W}是 y的开邻域.令任给(a,b)∈U×V,则(z,b)(a,b),且(z,b)∈W,从而(a,b)∈W.这表明(x,y)∈U×V⊆W.因此,d(X×Y)⊆O(X×Y).命题得证.

推论2.10设X,Y是2个c-空间.则 X×Y是一个c-空间,X⊗Y=X×Y且对于任意(a,b),(x,y)∈X⊗Y,(a,b)≪(x,y)⇔a≪x,b≪y.这里,X×Y表示拓扑乘积.

证明由命题2.9可知,X⊗Y=X×Y.任给(x,y)∈W∈d(X×Y),则存在 U∈d(X)及 V∈d(Y)使得(x,y)∈U×V⊆W.因为 X,Y是 c-空间,存在a∈U及b∈V使得 x∈(↑a)°⊆↑a⊆U且y∈(↑b)°⊆↑b⊆V.从而,(x,y)∈(↑a)°×(↑b)°⊆(↑(a,b))°⊆↑a ×↑b=↑(a,b)⊆U×V⊆W.由定义1.2的2),X×Y是一个c-空间.

记CTop表示以所有c-空间为对象、以所有(定向)连续函数为态射的范畴.则定理1.7、命题2.3及推论2.10,下述结论成立.

定理2.11CTop是定向空间范畴DTop关于有限范畴乘积封闭的满子范畴.

3 c-空间范畴的一个Cartesian闭子范畴

由于每个连续偏序集赋予Scott拓扑都是c-空间,所以c-空间是对domain理论[7]的重要对象—连续domain的推广.在domain理论中,连续格关于Scott连续映射都构成连续domain 的Cartesian闭满子范畴[7].本节将定义一类特殊的的 c-空间,称之为并半格c-空间,该结构是连续格的推广.证明所有并半格c-空间及连续映射构成的范畴是c-空间范畴CTop的Cartesian闭满子范畴.

设P是一个偏序集,a,b∈P.若a、b在P有上确界,则记该上确界为a∨b.设A⊆P且a与A中的每个元素有上确界,则记a∨A={a∨b:b∈A}.

定义3.1一个定向空间X称为并半格定向空间,如果它满足以下条件:

1) X有最小元(记为0X);

2) 任给 a,b∈X,a∨b存在;

3) 任给定向集 D⊆X及 a,b∈X,若 D→a,则b∨D→b∨a.

此时,当X是一个c-空间时,则称X是一个并半格c-空间.

一般而言,并半格不要求有最小元,为本文下面的讨论,特地要求并半格定向空间具有最小元.

例 3.21)每个赋予Scott拓扑的完备格(连续格,见文献[7])的定义,是一个并半格定向空间(并半格c-空间).其逆命题并不成立(见下例).

2) X=[0,1]∩Q,这里Q表示有理数集.令

容易验证,(X,O1(X))和(X,O2(X))都是并半格c-空间,其特殊化序就是通常的大小关系.值得注意的是,X显然不是完备格且第二个拓扑不等于Scott拓扑.

记SCTop表示以所有并半格c-空间为对象、以所有连续函数为态射的范畴.则连续格范畴是SCTop的真子范畴.

命题3.3若 X、Y是2个并半格c-空间,则X×Y是一个并半格c-空间.

证明由推论2.10,X×Y是一个c-空间.只需证明它是并半格.令0X⊗Y=(0X,0Y),则它是 X×Y的最小元.任给∀(x1,y1),(x2,y2)∈X⊗Y,由并半格定向空间的定义,x1∨x2和y1∨y2存在.显然,(x1,y1)∨(x2,y2) =(x1∨x2,y1∨y2).现在设 D为X⊗Y的定向子集,且 D→(a,b).则π1D→a且π2D→b.任给(x,y)∈X⊗Y,由 X、Y为并半格定向空间可得 x∨π1D→x∨a,y∨π2D→y∨b.由

接下来考虑c-空间之间的函数空间.设X、Y是2个c-空间且Y具有最小元0Y,a∈X,b∈Y.定义映射 a↘b:X→Y如下:

该函数称为步函数(在domain理论中称为步函数[7]).

引理3.4步函数是连续的.

证明a↘b:X→Y的定义如上.单调性是显然的.设D⊆X是一个定向集且 D→x∈X.则 a↘b(D)是定向的.若 a≪x,则 a↘b(x) =b.由引理2.6,存在a1∈X使得a≪a1≪x.从而存在d∈D满足a1d.再由命题 2.5,有 a≪d,从而 a↘b(d) =b.这表明,b的任何开邻域交a↘b(D)不等于空集.因此,a↘b(D)→b=a↘b(x).若ax,a↘b(x) =0y.a↘b(D)→0y显然成立.步函数的连续性得证.

命题3.5设f:X→Y是 c-空间 X,Y间的连续函数,Y有最小元0X.x,a∈X,y,b∈Y满足:xa,b≪y且 f(x) =y.则在函数空间[X→Y]中,步函数a↘b≪f.

证明由引理3.4,a↘b∈[X→Y].设D={fi:i∈I}是函数空间[X→Y]的一个定向集且D→f.由引理 1.6,(fi(x))i∈I→f(x)成立.由 b≪y=f(x),存在ix∈I使得任给 z∈X,若 a≪z,则若则显然成立.因此从而,a↘b≪f成立.

定理3.6设X、Y是2个并半格c-空间,则函数空间[X→Y]也是一个并半格c-空间.

证明由引理1.6,[X→Y]是一个定向空间.定义映射0[X→Y]:X→Y如下:∀x∈X,0[X→Y](x) =0y.显然,0[X→Y]是[X→Y]的最小元.取 f,g∈[X→Y],定义 f∨g:X→Y如下:

显然,f∨g 是良定义的且保序.设D⊆X是定向的且D→x∈X.则由f和g的连续性,有 f(D)→f(x)和 g(D)→g(x).由定义3.1,f(D)∨g(x)→f(x)∨g(x).设 U⊆Y是 f(x)∨g(x)的开邻域.则存在d1∈D使得 f(d1)∨g(x)∈U.同理,由 f(d1)∨g(D)→f(d1)∨g(x),存在 d2∈D使得 f(d1)∨f(d2)∈U.在由D的定向性,存在d∈D使得d1满足d1d,从而 f(d)∨g(d)∈U,即(f∨g)(D)→(f∨g)(x).因此,f∨g是连续的,从而是f、g在函数空间[X→Y]的上确界.设D={fi:i∈I}是函数空间[X→Y]的定向集且D→f∈[X→Y].由引理1.6有

再由引理 1.6,g∨D→g∨f(x).因此,函数空间[X→Y]是一个并半格定向空间.

接下来证明,函数空间[X→Y]是一个c-空间.设 f∈[X→Y].令

注意到X和Y都有最小元,A≠Ø.任给非空有限集F⊆A,不妨设 F={(a1,b1),(a2,b2),…,(an,bn)},定义 fF:X→Y如下:

由上面的证明知,fF∈[X→Y]且是诸步函数的上确界.下证 fF≪f.设D={fi:i∈I}是函数空间[X→Y]的一个定向集且D→f.由命题3.5知,ai↘bi≪f,1≤i≤n.故对每个 i存在 fi∈D使得由D的定向性,存在g∈D使得从而因此,fF≪f.令

则B是一个定向集,且B⊆f.由定理2.7,只需证明B→f.由引理1.6,只需证明

由引理2.6,只需证明,∀b≪f(x),存在 Fb∈B使得 b≪fFb( x).设 b≪f(x),则由引理 2.6,存在 c∈Y满足 b≪c≪f(x).由定理定向且收敛到 x.因为 f连续,故定向且收敛到 f(x).从而存在满足 c≪f(d).令 Fb={(d,c)},则 fFb=d↘c.显然,b≪c=fFb(x).

由命题3.3及上述定理可知,并半格c-空间范畴SCTop作为c-空间范畴CTop的满子范畴关于有限范畴乘积及函数空间是封闭的.注意到c-空间范畴CTop是定向空间范畴DTop的满子范畴,且由定理1.7,DTop是 Cartesian闭范畴,其范畴乘积及指数对象分别是X⊗Y及[X→Y].因此,得到本节如下主要结果.

定理3.7并半格c-空间范畴SCTop作为c-空间范畴CTop的Cartesian闭满子范畴.

这一结果表明,c-空间范畴的存在不同于domain

理论的Cartesian闭范畴,可为研究函数式程序语言指称语义提供更一般的数学模型.

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