弦图结构与勾股定理

王秋月 王攀攀

勾股定理神秘而美妙，其证法繁多，风采各异，弦图结构在勾股定理的众多证法中堪称是一条亮丽的风景线，下面举例与同学们分享.

图1是我国古代数学家赵爽创制的“勾股圆方图”，它又被称为“赵爽弦图”，利用它可以简捷地证明勾股定理：C²=（b-a）²+4x（1/2）ab=b²+a².

我们把图1的“赵爽弦图”称为外弦图（斜边在外），把下面的图2叫作内弦图（也叫作毕达哥拉斯图）.利用图2怎样证明勾股定理呢？由c²+4x（1/2）ab=（a+b）²，整理得c²=a²+b².

在人教版教材（八年级下册）第30页的“阅读与思考”中出现了证明勾股定理的又一個图形（如图3），美国第20任总统加菲尔德川它巧妙证明了勾股定理.S_梯形=（1/2）（a+b）·（a+b），S_梯形=（1/2）c²+2×（1/2）ab，故（1/2）（a+b）（a+b）=（1/2）c²+2×（1/2）ab.整理得a²+b²=c².

实际上，图3是把图2截去一半而成的.

如果我们把四个全等的直角三角形纸片按图4进行叠放，也可以通过等面积法来证明勾股定理，在这里，把正方形分割成一个四边形和两个三角形米计算面积.

勾股定理的证法现在已有五百多种，而用弦图结构来证明勾股定理体现了数学文化之精深.弦图存初中几何中占有重要地位，构造弦图也是一种常见的辅助线，“一线三直角”模型，正是从弦图中分离出的一部分，面直角坐标系中，点A的坐标为（-3，4）.将线段OA绕原点顺时针旋转90°到OB，A点的对应点为B点，则B点的坐标为_____，

解：B点坐标为（4，3）.

我们称图5中的“一线三直角”为“外一线三直角”，有时候还需要构造“内一线三直角”，如图6和图7.