七阶Kaup-Kupershmidt方程的经典李群分析和精确解

卢毅辉， 胡恒春

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 问题的提出

非线性发展方程可以描述自然界中的各种非线性现象，并且在物理、化学和生物等学科中都有广泛的应用。因此，研究这些非线性发展方程的解及解的性质具有重要的理论和现实意义。到目前为止，学者们已经提出许多有效的方法来研究非线性模型的可积性质和精确解，例如：反散射方法、Hirota双线性方法、扩展的tanh方法、指数展开法、Painlevé分析法等[1-10]。

4 结 论

通过经典李群方法对七阶KK方程进行了研究，得到了该方程对应的无穷小，进而得到了不同形式的约化方程。最后，通过求解约化方程得到了多种形式的精确解，包括有理解、椭圆函数解、三角函数解、双曲函数解、幂级数解，且给出了幂级数解收敛性的证明。

通过本文的分析可以看出，在解决非线性发展方程时，可以通过李群变换法巧妙地对原偏微分方程进行约化，进而通过对约化方程的求解来获得原方程的解。但是随着方程维数的增加，其约化难度将会变得困难许多。另外，如何对得到的约化方程进行有效处理使其转化为我们熟知的方程，亦即探讨约化方程与已知方程的联系是一个难点问题。目前对约化方程的处理大多借助于函数展开，例如，扩展的tanh展开法、Riccati展开法、微分方程展开法、幂级数法等。但是，能否通过某些适当的变换将约化方程巧妙地转化为我们容易解决的方程或者是否有更为有效的方法来处理约化方程值得今后深入研究。