隐函数求导的教学探讨

刘翠香 王素云 单彩虹

陆军装甲兵学院基础部

在多元函数微分学中,隐函数的求导占据了很重要的地位。同时对初学者来说,它也是高等数学中的一个难点。特别是方程组确定的抽象、多元复合函数的求导，更让学员无所适从。学员在学习中存在的主要问题是：（1）搞不清变量之间具备怎样的函数关系；（2）死记硬套公式，不能将所学的知识系统化。本文探讨在教学中如何引导、启发学员直观化、抽象化地将这些问题综合解决。

一、利用代数思想直观化处理函数关系

弄清变量间的函数关系，是解决隐函数求导问题的关键，它也是实际教学中学员容易出错的问题所在。因此必须分析清楚方程组哪些变量是因变量，哪些变量是自变量，函数关系清楚了，才能正确解决这类问题。下面用代数思想来直观化地帮助学员分析变量间的函数关系。

线性代数关于线性方程组的解有如下定理：一个含有r个线性方程的n元线性无关的方程组Ax=b若有解，则自由未知数的个数s等于未知数个数n与方程个数r之差，即s=n−r。运用这一原理可解决上述问题。

设有方程组：

满足隐函数存在定理的一切条件，可确定一组隐函数，则(1)中所有变量的个数相当于定理中的n，方程个数为r，则自变量个数s=n−r，所以方程组(1)可确定r个s元函数。X1，X2……，Xn中究竟哪些是自变量，哪些为因变量，这由题设的要求来确定。下面通过例子来具体说明。

分析：解此题的关键是先弄清楚变量间确定怎样的函数关系。变量的个数n=5，分别为x,y,z,u,v；方程个数r=3,则自变量个数s=5−3 = 2，故方程组可确定3个2元函数。又因为题目要求，显然z是因变量，x,y是自变量，从而剩下的u,v也必是因变量。因此知。

在教学中，借助代数思想直观化地帮助学员解决这类问题。

二、利用核心思想进行求解

掌握了如何确定变量间的函数关系后，要解决的就是求解导数。教材中的隐函数存在定理给出了求解公式，但在教学中，不能要求学员去死记、硬套公式，而是从定理的证明过程入手，让学员在理解定理的基础上，掌握其数学方法和思想。隐函数求导的基本思想即是方程两边同时求导，基本方法主要归结为两种：（1）对方程两边求导，（2）利用全微分。下面还是通过例2来具体说明。

例2．解：方法1 直接对方程两边求偏导数

把3个方程两边同时对x求偏导数，得到方程组

同理把3个方程两边同时对y求偏导数，可解得

由此例题可以看出，要求学员对变量间的函数关系确定后，对隐函数求导实际上是对恒等式求导，然后转化为以隐函数导数为未知量的线性方程组的求解问题。

另解：方法2 利用全微分

把3个方程两边同时求微分，得到方程组

解得：

由上述求解过程不难发现微分法在隐函数求导中具有巨大的优越性。微分法的最大好处就是将自变量、因变量“一视同仁”，从而大大降低了思维强度。

三、灵活运用理论知识解决应用问题

空间曲线方程有两种形式：一是参数方程x=x(t),y=y(t),z=z(t)；另一种是一般方。求曲线上一点的切向量T，有参数方程知；由一般方程可确定函数关系，此时把x看作参数，则切向量。于是一般方程切向量的求解就转化为了隐函数求导问题。

空间曲面的方程也有两种形式：一是F(x,y,z)=0或者Z=f(x,y)；二是参数形式x=x(u,v) ,y=y(u,v) ,z=z(u,v)。求曲面上一点的法向量时，一般方程F(x,y,z)=0对应的法向量n=(Fx,Fy,Fz)，方程形式为Z=f(x,y)时对应；参数形式下则转化为方程组确定函数关系，通过隐函数求导得到，即可求得对应的法向量。

对于一些不直接以方程组的形式出现的隐函数求导，可转化为方程组形式处理，这样可以不考虑复杂的中间变量关系。

总之，在教学中，除了要着重化解学员在学习中存在的难点外，我们更要培养学员的数学思想和分析问题的综合能力，促使他们能灵活运用隐函数求导去解决问题。