模糊判断矩阵加性一致性局部修正算法

葛宁静 马振明 宓 玲

(临沂大学 数学与统计学院，山东 临沂 276000)

0 引言

群体决策是将若干决策者的个体偏好集成为集体偏好,然后根据集体偏好对一组方案进行排序,从中选择最优方案.目前,将方案两两比较而得到的群体判断矩阵是群体决策分析中的一个热点,从判断矩阵元素的表示方式看,判断矩阵有正互反判断矩阵[1]和模糊判断矩阵[2,3]两种形式.但与正互反判断矩阵相比,模糊判断矩阵更符合人的心理习惯,更容易为决策者掌握和使用.判断矩阵一致性能够反映决策者判断合理性,从而成为判断矩阵研究的核心.目前,对模糊判断矩阵一致性的研究已有一些成果[4-13].由于实际决策环境的复杂性,决策者给出的模糊判断矩阵一般是难以达到完全一致性要求的,因此为了保证模糊判断矩阵排序向量的可信度和准确性,必须对其一致性程度作一定要求,并对不具有满意一致性的模糊判断矩阵进行修正.有些学者在群体决策环境下研究模糊判断矩阵一致性问题[8,9,12,14,15],但这些方法往往是对模糊判断矩阵进行全局修正,使得原始判断矩阵中几乎所有元素都发生了变化,不能很好反映原始判断矩阵的信息.既然决策者是专家,其判断元素大部分应该是可靠的,只是少数元素不准确,因此判断矩阵的调整应该局部进行,即只涉及少量元素.

本文首先给出模糊判断矩阵的偏序及其若干性质,然后讨论群体决策中模糊判断矩阵的加性一致性检验与修正问题,提出一种群体决策中模糊判断矩阵加性一致性局部修正算法,并与已有算法进行对比,通过数值例子说明算法有效性.

1 预备知识

通常我们将取值于[0,1]的矩阵称为模糊矩阵,或者模糊关系[12].

定义1[2]模糊矩阵P如果满足pij=1-pji,则称其为模糊判断矩阵.明显地,pii=0.5且记全体模糊判断矩阵的集合为FPR.

定义2[3]模糊判断矩阵P如果对任意i,j,k=1,2,…,n,满足pij=pik+pkj-0.5,则称其具有加性一致性.

定理1[3]模糊判断矩阵P具有加性一致性当且仅当存在向量ω=(ω1,ω2,…,ωn)使得pij=0.5(ωi-ωj+1).

2 模糊判断矩阵加性一致性局部修正算法

定义3设P,Q为两个模糊判断矩阵.如果对任意i

定义4设P,Q,R为三个模糊判断矩阵.映射D:FPR×FPR→[0,1]如果满足(1)D(P,P)=0; (2)D(P,Q)=D(Q,P);(3)P≤Q≤R蕴涵D(P,Q)∨D(Q,R)≤D(P,R),则称D为FPR上的距离测度.

对给定模糊判断矩阵P,Q,我们定义如下具体的距离测度

设X={x1,x2,…,xn}为n个待选对象,E={e1,e2,…,es}为s个决策者.决策者el使用模糊判断矩阵Pl来表达偏好信息.

定理2设P1,P2,…,Ps为一族模糊判断矩阵.定义N=(nij)和M=(mij)如

则N,M为模糊判断矩阵.

证明我们只证明N为模糊判断矩阵,类似可证M为模糊判断矩阵.容易验证

由定义1有N为模糊判断矩阵.

定理3设P1,P2,…,Ps为一族模糊判断矩阵,则N≤M.

证明显然,故略.

通常情况下,由于客观事物的复杂性和人们认识的多样性,决策者所给出的模糊判断矩阵通常不具有完全一致性,因此往往希望将一个不一致的模糊判断矩阵修正为具有可接受的加性一致性的模糊判断矩阵.

定理4设P1,P2,…,Ps相对于加性一致模糊判断矩阵K具有可接受加性一致性且Pl≤K,l=1,2,…,s.如果N相对于K具有可接受加性一致性,那么Pl相对于K具有可接受加性一致性.

证明由于Pl相对于加性一致模糊判断矩阵K具有可接受加性一致性,即D(Pl,K)

上述定理保证了具有可接受加性一致模糊判断矩阵集成后仍具有可接受加性一致性.我们通过如下算法给出加性一致模糊判断矩阵K以及不具有可接受加性一致性的模糊判断矩阵的修正算法

算法

步1 给出模糊判断矩阵P(l0)l=1,2,…,s,h=0且a=0.1.

步2 由模糊判断矩阵P(lh)构造模糊判断矩阵N(h)和M(h),其中l=1,2,…,s.

步6 修正P(l0h)为P(l0h+1),其中

满足N(h)≤N(h+1)和M(h+1)≤M(h).

步8 利用加权算术平均算子将P(lh)l=1,2,…,s集成为集体模糊判断矩阵P(h).

上述定理表明本文提出的算法具有收敛性.

3 数值例子与对比分析

本节我们主要给出本文提出的修正不具有加性一致性的模糊判断矩阵方法和已有方法进行对比.我们通过下面数值例子演示提出的算法:

例 1设 4 个决策者E={e1,e2,e3,e4}对4个对象X={x1,x2,x3,x4}进行评估,给出如下模糊判断矩阵

假设4个决策者权重相同,取阈值a=0.1,通过数学软件Sagemath计算,当迭代次数h=0时,我们有

因此它们都具有可接受加性一致性.利用加权算术平均算子将P(1,13),P(2,13),P(3,13),P(4,13)集成为集体模糊判断矩阵

表1 一致性修正算法迭代过程

通过数学软件Sagemath计算,我们有

利用加权算术平均算子集成P1,P2,P(3,3),P(4,2)为集体模糊判断矩阵P,其中

4 结论

本文以模糊判断矩阵的偏序关系为工具,给出了基于模糊判断矩阵的专家群体判断加性一致性检验与修正的局部算法,相比全局修正算法,更符合实际决策需要,为合理应用模糊判断矩阵评价和优选决策方案奠定了较为坚实的基础.