活用画图技巧培养数学素养

2020-11-28 07:47宋楚楚
文理导航·教育研究与实践 2020年11期

宋楚楚

【摘 要】“植树问题”是人教版《数学》五年级上册“数学广角”的内容,重点是研究当两端都种时棵数与间隔数之间的关系。学生在探究这一问题时,往往会采用“画图”的方法,因此如何画图,怎么用图是这节课的重点之一。在这一过程中,有意识地培养学生数学建模、对应、数感等高阶思维能力和“选择简单的数研究”的数学思考方法;感受数学与现实生活的紧密联系,体验成功的喜悦。

【关键词】画图技巧;一一对应;简单的数据

一、创设情境,揭示课题

教师伸出一只手,指着手指与手指之间的距离问:“同学们,你们知道这段距离叫什么吗?我们把这一段距离叫做间隔。”

课件播放图片:一排做操的学生中的3个人、路边的两根电线杆、路边的4面彩旗、路边的5棵柳树。

师:用手比划下间隔数和棵数。

生1:3个人之间有2个间隔。

生2:两个电线杆之间有1个间隔。

生3:4面彩旗之间有3个间隔。

生4:5颗柳树之间有1个间隔。

师:今天这节课,我们就来研究一些简单的与间隔数和棵树有关的问题——植树问题。(板书课题)

设计意图:在实际的教学中,学生往往对于“间隔”的理解有偏差。在本课的引入时,先让学生观察现实生活中不同场景的间隔是怎么样的,图形中的间隔是怎么形成的,初步体会间隔和“棵数”之间的关系。

二、活用技巧,激趣引知

(一)课件出示情境

在1000米长的路上,一边种树,每隔5米种一棵(两端都种)。一共可以种多少棵树?

师:从题中你得到了哪些信息?

生:在1000米的长的路上,一边植树,每隔5米种一棵,两端都种。

师:一边植树是什么意思?

生:路有两边,只在一边植树。

师:两端都种呢?

生:一头一尾都种树。

师:这道题你是怎么想的?请先尝试列算式解决。

学生出现三种算式,分别是:1000÷51000÷5+21000÷5+1

师:哪个算式是正确的?如何验证?

学生猜测,并指出可以通过画图的方法验证。

师:可是1000m太长太麻烦了,怎么办?

生1:可以选择小的數。

生2:可以选择从20m的路上研究。

生3:也可以选择从30m的路上研究。

板书:从简单的数据研究

师:那我们先选择在20m的路上研究吧。请同学画一画,算一算。

设计意图:出示“种树”的情境,先让学生列算式解决,展示不同的算式,把学生的想法暴露出来。怎么去验证哪个算式是正确的?学生都能想到用“画图”的方法。而情境中的数据太大,引起学生思考,数据太大时可以选择从小的数据研究,找到规律。

(二)画图解题,探究规律

出示学生的作品。

先展示错误的画法。

师:请你判断这些同学画的图是否正确?

生1:是错误的。题中要求是“两端都种”,他只种了一端。

生2:是错误的。一个间隔长5m,这里有5个间隔,一共是25m了,与题意不符。并且按照他的画法,总长度他也标错了。

师:这两位同学在指出错误时都提到了一个关键的因素——与条件不符!所以画图时,我们要注意什么?

生:与条件相符合。

师:是的,我们所画的图一定要和题中的条件一致,这样才能帮助我们正确地解决问题。

师再展示正确的画法。

师:谁来说说怎么画才正确?

生:一个间隔是5m,4个间隔就是20m,首先要符合题意。而且两端都种上树了。

师:你觉得他的画法正确吗?谁还有补充?

生:正确,不过我们可以用线段图来画。

师追问:为什么选择线段图?

生:因为这样的图比较简单,把树画成一棵棵树的样子太浪费时间了。

师:想要画出正确的图,还要注意什么呢?

生:不要忘记检查,画出的图是否和题中的要求一致!

师生一起小结正确的画法:首先要理解题意,其次可以用线段图的表示,一个端点表示一棵树,一段线就表示一段间隔。最后注意检查总长度和条件是否相符。

设计意图:展示正确的和错误的画法,让学生在不同的画法中体会图一定要和条件一致才能帮助解决问题。最后老师让学生说一说画法,帮助画错的学生规范画图。

师:图画正确了,谁再来说一说从图中,你发现了什么?

生:我发现棵数比间隔数多1。

师:谁能结合图,比一比,说一说为什么两端都种,棵数比间隔数多1?

生一边在图上指一指,一边说:一棵树对应一个间隔,这样一一对应下去,就会发现最后一棵树没有对应的间隔,所以棵数比间隔数多1。

老师根据学生说的,在图上用红笔一一对应地将一棵树和一个间隔圈起来。

师:这个同学是这样结合图,一一对应地去比较出来的。

板书:一一对应

师:请你也和同桌,根据图,这样一一对应地圈一圈,比一比棵数和间隔数。

设计意图:一一对应的比较方法,很容易比较出棵数和间隔数之间的关系,因此在教学设计中不断地让学生用这种方法去比较,加深印象。

(三)再次探究,得出规律

师:在20米的路上两端都种,我们发现了棵树比间隔数多1,那么在其他长度的路上也有这样的规律吗?我们一起再来研究一下。

出示情境:在(  )米长的路上一边种树,每隔5米种一棵(两端都种)。一共可以种多少棵树?

师:你还想研究几米?请你把自己想研究的长度填入括号里,画一画,算一算。

学生完成探究后,将探究结果展示出来,大家一起交流。

学生通过画图的方法,研究不同长度的小路,都得到了两端都栽,棵数比间隔数多1。

板书:棵数=间隔数+1(两端都栽)

师:根据探究所得的规律,我们再回到第一个例题中我们在黑板上列的这几个算式,谁能再来说说哪个算式是正确的?

生:1000÷5+1是正确的。

师:说一说为什么?

生:1000÷5算出的是间隔数,再+1就是棵数了。

师:为什么+1?

生:因为一棵树对应一个间隔,这样一一对应下去,最后一棵树后面没有间隔,所以多出一棵树。

师:解释得真好,同桌之间互相说一说为什么加1。

设计意图:通过让学生自主探究,再一次验证当两端都栽,棵数比间隔数多1学生把探究所得的规律重新去解决例1的问题,既能让学生感受探究大数据时,可以选择从小数据上先探究出规律,又能让学生把得出的规律应用到解决问题中去,锻炼了学生应用能力。

三、构建模型,活用规律

(一)口答(两端都栽)

(1)如果有13个间隔,应该栽多少棵树?

(2)如果栽20棵树,中间有多少个间隔?如果每棵树之间插一面彩旗,一共有几面彩旗?

(二)你能否自己编一道类似的“植树问题”

展示学生所编的比较典型的植树问题。

师:同学们编的这些题各有创意,既和我们今天研究的植树问题有点像又有点不像,你们能解决吗?

生:可以。

师:你们想怎么解决呢?

生:可以选择画图解决。

师:那就请同学们根据我们在课上小结的画图方法,尝试解决老师选择的这三道题。

(三)学生一起通过画图解决所编的植树问题。

师:刚才我们自己开动脑筋解决了问题,解决完这些植树问题,你又有什么发现呢?

生:通过上面几道题,我发现了两端都不栽,棵树比间隔数少1。

师追问:你能结合你的图来说说为什么吗?

生:可以这样,一段对应一个端点,那么这样一一对应下去,最后一段没有对应的端点!所以棵树比间隔数少1。

师:说得特别好!还有其他发现吗?

生:我也发现了一端栽、一端不栽的情况,棵树=间隔数。

师:你也能结合图,像这样来说说理由吗?

生:一个端点对应一段,这样一一对应下去,最后正好都有对应!不多不少。

师:是的,同学们,我们不仅要学会如何正确画图,更重要地是我们要学会如果用图来解决问题。

设计意图:让学生自己编一道类似的“植树问题”,在编题的过程中,也是建立“植树问题”模型的过程。从学生的编题结果也可以看出学生对于本节课的掌握情况。此外,也提升了学生对于知识的应用、整合、编辑等综合能力,调动了学生的学习积极性。学生在选择编题素材时,不一定是“树”,而是生活中的其他东西。这也可以让学生感受到生活中处处有数学。

四、抽象概括,深化理解

师:同学们在编题时,用到的素材很多,如人、电线杆、车站、旗子等,现在把这些在脑海里越变越小,成一个点,小路变成一条线段,你能发现棵数和间隔数之间的关系吗?

生:棵数=间隔数+1

师:其实,这里的人、车站、树等与间隔的关系都可以理解成棵数与间隔数的关系。

设计意图:数学学习是从具体到抽象再回到具体的过程。本环节从感知上升到认知,在学生脑海里建立了植树问题的模型。学生学到的不仅是知识,更是一种学习方法、一种解决问题的策略。

五、回顾反思,总结提升

师:通过这节课的学习,你有什么收获?请你与同桌说一说。

师:在刚刚编的题中,有一种情况与我们今天探究的不一样,这位编题的同学题中的条件是“一端种一端不种”,这种情况,我们该怎么去研究呢?

生1:和今天研究的方法一样,从小的数据研究。

生2:画图。

设计意图:通过回顾,学生能再次梳理探究的过程和方法,总结解决问题的策略。在课的结尾提出另一种植树问题的情况,培养学生数学方法的迁移能力。

六、课后思考

这节“植树问题”在设计时,始终有2个问题在我心里萦绕,其中一个问题是:学生已经会了,该怎么教?直到我看到2019年第1期《小学数学教师》中的一篇文章《数学思维是解决教学困窘的根》中的写道:在学生已经掌握了部分知识的情况下,老师应该往后退,把学生推到前面,让他们充分表达。是的,在学生已經会的情况下,怎么在课堂上调动他们的积极性?我想也是应把课堂让给他们,让他们自己去探究,去发现。因此,整节课的设计上,也是以学生自主画图探究、比较、发现规律、应用规律。而笔者仅是充当一个主持人的角色,推动他们展开探究。

第二个问题是:在设计时是将三个例题整合在一起上,还是只上例1?这个问题,我也请教了其他老师,部分老师还是选择三个例题一起上,因为学生在三年级时以及学习过一一间隔排列的内容。但最后我在设计时,还是决定在新授课时,只上一个例题的内容,这样学生对知识的掌握可能更透彻一些。在整节课的设计中,先建模,两端都栽这是基本模型,如果把这个模型建立好了,两端不栽、只栽一端(包括封闭的情形)都不成问题。

此外,学生在实际解决植树问题时,往往只是靠套用公式来解决问题,至于背后的原理,他们往往是不清不楚的。因此在设计这节课时,笔者弱化了公式的记忆,通过画图、一一对应地比较,让学生真正搞懂植树问题背后蕴含的数学思想。思想掌握了,一通百通,类型再怎么变化,抓住一一对应这一根本,都能轻松解决。

【参考文献】

[1]苏遗华.抓住学科内在本质,培养学生数学素养——人教版教材五年级上册“植树问题”的教学思考[J].小学教学参考,2020(20):74-75

[2]林迎陶.画图——培养数学核心素养的有效途径[J].小学教学研究,2019(32):94-96