深入研读教材 落实核心素养
——以“函数单调性”教学设计为例

陈春芳

(江苏省锡山高级中学,214174)

本文结合新教材“函数单调性”第一课时,探讨基于核心素养的课堂教学设计.

一、教学设计

1.创设情境,激发兴趣

情境1恩格斯曾说:“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数,运动就进入了数学;有了变数,辩证法就进入了数学”

师:请大家回顾一下,我们用怎样的数学模型刻画变数?

函数是描述事物运动变化规律的数学模型.如果了解了函数的变化规律,那么也就基本把握了相应事物的变化规律.函数有哪些变化规律?我们如何研究这些变化规律?

情境2观察下列函数它们,你能说出图象的变化趋势吗?

预设：图1中从左至右,图象呈上升趋势; 图2中从左至右,y轴左侧图象呈下降趋势;y轴右侧图象呈上升趋势.

师:不同函数图象的变化趋势可能不同,同一函数在不同区间上的变化趋势也可能不同.函数图象的这种变化趋势，其实就是函数性质的反映,这就是今天要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性.

设计意图情境1是本章的引言.恩格斯的这句话不仅指出了函数的重要特征,同时也指出了函数的重要地位和作用.只要能把握函数的性质,就能够把握相应事物的变化规律,这也表明了研究函数性质的必要性和深远意义,即通过对函数模型的研究来把握一类事物的变化规律,进而能做出相关的判断和预测.情境2则给出研究函数性质的方法,从特殊到一般,数形结合,这也为以后研究函数其他性质作铺垫.

2.问题驱动,形成定义

问题1你能说出上述函数图象所反映的函数的变化趋势吗?

预设：图1中y随x的增大而增大.图2中y轴左侧，y随x的增大而减小；y轴右侧,y随x的增大而增大.

师:y是自变量x对应的函数值,也就是这里的f(x),因此也可以说成f(x)随x的增大而增大.

问题2如何用数学语言描述“f(x)随x的增大而增大”?

追问1 “增大”体现了两个量的比较,x增大如何符号化?

预设：x“增大”的符号化可以用两个自变量的大小关系表述,即x1

追问2 在给定区间内是不是只要存在x1,x2,当x1

预设:不能,例如f(x)=x2在区间[-1,2]上有,f(-1)

追问3 在给定区间内存在无数个x1,x2呢?

预设：不能,例如在区间[-1,2]上,存在-1

追问4 区间内的x1,x2应满足什么条件?

预设：在给定区间内任意的x1,x2,当x1

问题3你能给出单调增函数的定义吗?

预设：设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1

问题4函数f(x)=x2的图象在y轴的左侧是下降的,类比增函数的定义,你能得到什么结论?

预设：设函数y=f(x)的定义域为A,区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1f(x2),那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数,I称为y=f(x)的单调减区间.

若函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数,那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性,单调增区间和单调减区间统称为单调区间.

设计意图问题1引导学生根据图象的特征分析出函数的变化趋势,从图形语言的“上升”、“下降”到自然语言的“增加”、“减少”,逐渐实现形到数的转化.函数单调性的得出有两个难点：一是“增加、减少”的符号化表示；二是“任意性”的理解.问题2、问题3以及一系列追问就是为了突破难点,用两个量的大小比较实现“增加、减少”,学生还没有学习逻辑用语中的存在量词和全称量词,所以对于概念中的“任意性”的理解,只能通过层层设问,借助学生已有的知识和经验,利用从特殊到一般,结合函数图象去理解,在思考中体会到从有限到无限的符号化过程,经历从具体直观描述到形式化的符号表达的抽象过程.问题4让学生从类比的角度来研究,一方面可以类比研究的方法,另一方面可以类比研究的结论,理解和掌握研究函数性质的一般方法.

3.数学运用,提升素养

例1(1)图3为某市2019年元旦24小时内的气温变化图.你能写出气温图中的单调区间吗?

检视父母教养范式的适切性，就是检视其合理性和有效性。“鞋子合不合脚，脚知道”。与孩子的个性和成长需求契合的家庭教育，对孩子成长产生积极的正向影响，反之亦然。检视家庭教育范式的适切性，要检视家长的家庭教育动机、教育目标，检视日常生活中亲子双方的情绪体验和行为反应等。如果消极的劣性的情感体验多，就要对家庭教育多加注意，及早发现问题和解决问题。

(2)你能给出一个函数,并写出其单调区间吗?

设计意图问题(1)利用气温图,让学生直观体会单调增(减)对应的图象特征.问题(2)是让学生回顾所学函数的单调性.之所以让学生自己给出,一方面考虑到为了调动学生的积极性,让他们自己提出问题、解决问题.另一方面,也想看看学生对于所学函数的掌握情况,进而引导学生利用定义去研究函数的单调性，提升学生直观想象核心素养.

4.课堂小结,提炼升华

(1)说一说函数单调性的定义,判断、证明函数单调性的方法;

设计意图课堂小结引导学生从知识和方法两个方面总结,不仅可以梳理所学的知识,同时还能初步掌握研究函数性质的方法.

二、教学思考

1.解读课标,整体把握教学内容

本章学生已经研究了函数的概念及其表示,学生知道函数是描述事物运动变化规律的重要数学模型.接着应该思考两个问题,一是怎样用函数来研究实际问题?二是用函数的什么特征来研究实际问题?如果了解了函数的变化规律,那么也就基本把握了相应事物的变化规律,在事物变化过程中,保持不变的特征就是这个事物的性质.所以,我们要研究函数的性质.

2.研读教材,析出数学核心素养

本节课蕴含了以下核心素养：一是直观想象.本节课的学习都是先从观察函数图象入手,分析总结函数图象的特征,发展学生的直观想象素养;二是数学抽象.根据图象特征,运用数学自然语言描述函数图象的特征,最后抽象出数学符号语言,这是本节课的重点和难点;三是逻辑推理.利用定义研究单调性,就是要进行代数推理论证,需要根据x1,x2的大小,判断出f(x1)和f(x2)的大小关系;四是数学运算.在对表达式进行化简变形的过程中,也提升了学生的数学运算素养.

3.合理建构,落实数学核心素养

(1)问题研究依托于图象.本节课的课题引入是先借助于学生已有的知识经验,观察研究函数f(x)=x和f(x)=x2的图象变化趋势.这样的引入形象直观,符合学生的认知规律,这两个函数学生初中已经学过,对其图象特征也很清楚,很容易分析出函数的变化趋势.在知识运用环节,让学生先从气温变化图上找出相应的单调区间,加深对函数单调性的直观认识.

(2)核心概念的建构以学生为本.本节课的重点是函数单调性的定义以及用定义分析函数的单调性,学生对定义的理解有两个难点,一个是如何将“x的增大”符号化?另一个是对“任意x1,x2”的理解.从学生最近发展区出发设计问题串,借助函数f(x)=x2在y轴右侧的图象,学生思考“如何用数学语言描述f(x)随x的增大而增大”?围绕这个问题设置一系列追问,“增大”是体现了两个量比较大小,因此需要引入两个自变量x1,x2的大小关系来表示.接着引导学生思考x1,x2是区间内两个怎样的量?让学生的思考层层深入,不断从数和形两个方面进行辨析,在辨析中学生逐渐抽象出单调增函数的定义.接着又让学生观察f(x)=x2在y轴左侧的图象,让学生类比得出减函数的定义.