利用活动经验 还原建构过程
——“平面向量的概念及表示”教学实录与反思

雷成才 盛 俊

(江苏省仪征中学，211400)

受江苏省华罗庚中学的邀请,笔者分别参与了“平面向量的概念及表示”评与教的工作,有些想法,现整理成文,供参考．

一、教学构想

1.设计理念

这是苏教版高中《数学》必修4第二章第1节课.在向量概念的教学中,要充分利用学生的生活经验、其他学科的相关知识,创设丰富的情境,例如生活中的指示牌,物理中的力、速度、位移等.通过这些实例使学生了解向量的实际背景、物理背景,引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用．同时还要通过解决一些实际问题或数学问题,使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法．

加强向量与已有研究经验的联系,使学生明确研究向量的基本思路．使学生通过与实数及其运算的类比,体会研究向量的基本思路,努力揭示数学知识的产生、形成和发展的全过程．

2.学情分析

授课对象为四星级重点高中普通班学生,有较好的知识基础,较强的运算能力,班级氛围民主,思维活跃.

知识基础:学习本节之前,学生已有物理中矢量的概念,并且在前一章的“三角函数”中已经接触到了有向线段的概念,这些都为向量的学习提供了便利．

能力准备:学生具备一定的抽象、类比、归纳等主动探究能力,但合作交流的主体意识不强,有待改进．

情感准备:此时的学生仍属高一新生,求知欲强,好奇心重,期待学习新事物．

3.教学目标

(1)了解向量来源于实际生活,理解向量的概念及表示．掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等基本概念．

(2)体会在学习过程中使用到的类比与联想,抽象与归纳的数学方法,感悟贯穿全程数形结合和从特殊到一般的数学思想．

(3)在数学学习活动中,引导学生经历建构向量的过程,使学生体会数学中研究新事物的思想方法与一般路径,提升学生的数学思维水平和探究发现能力．

二、 教学过程

目标1:用数学的眼光发现向量(情境引入)

师:同学们,如图1所示，以华罗庚中学为参照点,你能描述仪征中学的位置吗?

生1:北偏西37°．

师:按照你的描述就能确定仪征中学的位置吗?

生:哦,不能,还需要指明其距离华罗庚中学80 km．

师:描述位置需要哪些关键要素?

生:方向和距离,缺一不可．

师:很好,请大家思考:1、我们是否还接触过其他具有方向和长度的量?

观察与思考：观察图2中的三个物理量,它们有什么区别?

设计意图通过师生问答,让学生感知到即将要学习的对象并非凭空而来,它就来源于实际生活和学习经历,这些因为拥有“既有大小又有方向”这一共同属性,所以被抽象出来研究.

目标2:用数学的方式表达向量

师:在获得了向量的概念后,为了研究方便,需学会数学地表示它．怎么表示?

师:向量既有大小又有方向,在表示“大小”这一方面有哪些可以借用的经验呢?

生:大小用实数来刻画,可以用小写拉丁字母表示,如:a,b,c,…x,y,z,…也可以在数轴上画出来．

师:向量是否和实数的表示类似,既有代数表示又有几何表示呢?能否在实数表示的基础上加上“方向”要素呢?

设计意图将文字语言符号化，是研究数学新概念数学化的基本手段,也是让同学回忆过往的表示经验,感知向量表示的合理性,参与数学理论的建构的过程．

目标3:用数学的思维研究向量

师:如何研究向量这一新事物呢?能不能像刚才那样,寻得一些既往活动经验呢?

生:有,还是从初中学习过的实数的开始．

师:想想当时是如何研究实数的?当时是从特殊的实数0,1开始再推广开去,了解了单个实数的一般情况后,再研究两实数间关系,如相等、相反等等,最后研究实数间的加减乘除运算即四则运算．那向量应该先从哪里开始研究?

生:从特殊向量开始．

师:特殊向量,特殊在何处呢?

生:特殊在大小和方向．

生4:类比特殊实数0,1,可以先研究模为0和1的特殊向量．

师:对,这两种模特殊的向量分别称为零向量和单位向量,它们的方向又是如何呢?

教师信手在黑板上画出几个不同方向的新向量，提问:它们是单位向量吗?方向如何?

生:不确定,可以改变,人为指定等．

此时教师发现有同学还站在位置上,便要求该生按照指令,原地向右转,向右转,再向右转…

师:同学们,刚才那位同学发生位移了吗?位移是什么?

同学们恍然大悟:位移为零,向量为零向量,方向任意．

设计意图如何按认知规律研究数学新对象,这是一个不能回避的命题．若将所有类似的概念课,上成一节数学新知的自主构建课,或许就是对这一命题的最好回应．数学活动经验重在积累,在积累中孕育素养,增长智慧,形成能力．这里所涉及到的类比联想数学方法,由特殊到一般的数学思想,重在渗透,贵在感悟,尤其零向量方向规定的合理性,需要学习者具有直观想象的核心素养．

投影画面1如图3，已知O为正六边形ABCDEF的中心,图中标出的三个向量是怎样的关系?

生：平行.

师:平行向量如何定义呢?

(学生尝试定义向量平行,未尽事宜由教师提示补充,但不主动干预．特别提醒勿忘零向量,并引导学生感悟规定的合理性．)

投影画面2如图4，已知O为正六边形ABCDEF的中心,图中标出的五个向量之间除了平行关系,还有其他更特殊的关系吗?

生:相等,相反．

(继续让学生尝试定义向量相等、相反等概念,)

设计意图这节概念课内容庞杂,向量关系由实数间的关系类比联想而得,若没有循着类比实数活动经验这条线,很容易落入全程刻板陈述概念的窠臼,学生无法参与．相反地,循着这条线,学生兴趣盎然,俨然如一个个数学家,不断类比实数,不断尝试生成新知,整个过程如源头活水,自然流淌,全无突兀之感．

目标4:向量的应用

例1判断

(1)任一向量与它的相反向量不相等;

(2)a∥b,b∥c,则a∥c;

(3)互相平行的两个单位向量相等;

(4)相等向量和相反向量都是平行向量;

例2探究：在图5的4×5方格纸中，有一个向量AB,分别以图中的格点为起点和终点作向量：

设计意图判断部分留出5分钟时间,前3分钟独立思考,后2分钟小组讨论,找到争议点,师生一起辨析．小组讨论交流是合作学习的重要形式,但不能代替独立思考和个体感悟．判断部分结束时,学生对概念有了进一步的理解,开始自主探究例题2,提升其使用新知解决问题的能力．

回顾这节课对向量概念的探究历程,大家能否归纳出研究数学问题的一种路线?

归纳

共性→抽象

定义→数形

表示→研究

特殊→?

师:这节课结束后,我将返回仪征,但我不想走回头路,决定先从华罗庚中学(A)到柳林镇(B),再到镇江(C),最后回仪征(D)(如图6)．

师:殊途同归,你能用数学的眼光发现什么?给出你的大胆猜想．

设计意图最后一问,老师可不给答案,留给学生课后自己温习课本,查找答案．同时也指明后一节课的研究内容,既呼应了课前的“情境引入”，又由实数类比知后面要研究向量的运算相契合,再一次引导学生迈上向量研究新征途,实现了提出问题(提出向量概念)→分析问题(研究向量概念)→解决问题

(应用向量概念)→提出问题(提出向量运算)的研究闭环．

三、教后反思

2017版《普通高中数学课程标准》将数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,称作“四基”,同时也将“获得数学基本活动经验”作为教育目标提出．构建主义也认为，有效的学习就是以学生为中心,强调学生对知识的主动探索,主动发展和对所学知识的主动建构．数学教育被看成是人类的一种充满情感、富于思考的经历体验和探索的活动．数学教学的目标,也并非单纯体现为学生接受的定义、公式、法则、定理等数学客观性事实,而更多的是通过对数学思想方法的感悟,对数学活动经验的积累,将“经验材料组织化”,“数学材料逻辑化”．所以数学教学不仅重结果,更应重过程．数学课堂教学必须结合具体内容,不断解决三个问题(研究什么、为什么研究和怎样研究)的过程,是不断提出问题、分析问题和解决问题的过程,也是让学习者在学习活动中去经历发现的过程．