巧用“向量三法”求解向量数量积问题

周建平

(浙江省浙江师范大学附属中学，321000)

平面向量的数量积兼具几何与代数双重特性，处理问题时需要合理运用其中的乘积关系和几何关系,而投影法、基底法和坐标法在求解该类问题中有着良好的解题效果．下面分类例说.

一、“三法”探讨,解法点睛

平面向量的数量积属于高中数学的经典问题,问题突破可以采用“向量三法”:投影法、基底法和坐标法,“三法”可准确定位向量关系,巧妙简化问题．

1.投影定义法

投影定义法,即利用数量积的投影定义,对于向量a和b,有a·b=|b|·λa→b(记λa→b为a在b上的投影),因此可利用该定义进行转化．而在实际求解时，还可以充分利用数量积公式a·b=|a||b|cosθ,建立与向量投影之间的联系．

评注数量积的投影定义法在以下两类情形中可有效降低思维难度:①图形中含有众多与向量数量积相关的特殊的几何条件,如垂直、平行等,有利于确定向量的投影关系,因此需关注图形中的直角三角形、菱形对角线的垂直等;②对数量积的范围问题,其中一向量的模长为定值,可利用向量投影将其转化为最值问题．

2.向量基底法

向量基底法同样适用于求解平面向量的数量积问题.用此方法时需确定一对基底,然后将有关向量用该基底来表示,最后结合平面向量的线性运算,以及数量积运算等知识，将其转化为纯代数问题．

评注选取基底时常可按照如下方式:若题目中含有向量的模长已知且数量积可求,则可以将其作为基底;若题干图形中含有特殊的图形,如等边三角形、直角三角形、矩形等,则可以特殊图形边的向量作为基底．

3.平面坐标法

平面坐标法,顾名思义需要结合题设图形来建立直角坐标系,实现题干向量的坐标化,然后通过坐标运算来求解数量积问题．

解析题干给出了图形的几何关系,其中涉及到等腰三角形、半圆、动点等内容,不便于使用投影定义和基底法,可以考虑根据图形特点来建立直角坐标系,采用坐标运算来转化求解．

取AB的中点为坐标原点O,AB所在直线为x轴，建立直角坐标系.根据条件可知A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2).可设∠POB=θ,其中θ∈[0,π],则点P坐标可表示为(cosθ,sinθ),由点坐标可得直线BC的斜率kBC=1,所以直线BC:y=x-1．

评注常见可用于建系的图形有以下几类:①具备对称属性的图形,长方形、正方形、菱形、等边三角形等;②具有特殊直角的图形,如直角三角形、直角梯形等;③具有特殊的角度,如30°、45°、60°、120°等．

二、多解探索,举一反三

上述所呈现的三种解法虽看似简单,但合理利用可巧妙求解平面向量数量积问题,极大降低解题难度,因此可将投影法、基底法和坐标法三种方法作为该类问题求解的有效策略．需要注意的是，三种方法虽相互独立,但方法之间有着一定的关联,可用于问题多解探究,即针对同一问题,可采用不同的方法来求解．

解析题干在梯形内构建了相应的向量,并给出了与数量积相关的条件,属于与数量积相关的几何类问题,可以采用“三法”中的基底法、坐标法来求解．

方法1:基底法

方法2:坐标法

问题所涉图形为特殊的梯形,可借助图形特征建立直角坐标系,通过坐标运算来简解．

总之,投影法、基底法和坐标法作为求解平面向量数量积问题的常用“三法”,方法之间存在一定的差异,但求解思路均紧扣向量的“数”、“形”特性．深入研究三种方法的构建思路及适用范围,可形成平面向量数量积问题的解题策略．