数学文化视角下的概念课教学设计
——以“任意角三角函数”的教学为例

刘晓乐

(扬州大学数学科学学院,225002)

人教A版《数学》作为使用较广泛的高中数学教材,在呈现三角函数的概念时，按照直角三角形为载体的锐角三角函数→象限角为载体的锐角三角函数→任意角三角函数的顺序展开[1].大部分一线教师也是按照教材呈现的顺序进行教学的.考虑到任意角三角函数不是锐角三角函数的简单推广，能否避开对“直角三角形为载体的锐角三角函数”的复习引入而是单刀直入地学习任意角三角函数的定义?本文尝试对此进行探索，希望能为教学提供参考.

一、设计背景研究

1.教材内容

三角函数是继指数函数、对数函数、幂函数学习之后的又一个重要的基本初等函数,是研究周期性变化的重要数学模型.此外,三角函数中包含了许多重要的数学思想与数学方法.在三角函数知识板块中,有些概念较为抽象,就高中生目前的认知水平来说不易理解,诸如任意角三角函数的概念．

2.学情分析

从知识角度来看,学生在初中阶段所学的锐角三角函数,只是求边求角的工具,并没有深入到三角函数的“函数性”层面;从素养层面来看,大多数教学过程注重对任意角三角函数概念的建构,而忽略了数学文化的教学.考虑到三角函数较强的应用性以及概念发展的历史性,更有利于引入数学文化,引起学生的学习兴趣,提升学生的数学素养．

3.教学目标

(1)理解任意角的三角函数的概念,掌握单位圆定义法；

(2)通过数学文化的渗透,引起学生学习兴趣,让学生知晓概念发展的历程,体会前人的科学精神,提升数学素养．

4.教学重难点

重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义

难点:(1)单位圆定义法的探究过程;

(2)任意角的三角函数与锐角三角函数的区别与联系.

二、教学过程设计

1.融入情境,感悟文化

问题1“斗转星移四季新,草青草黄又一春．又是一年好光景,惊蛰过后见春分．”这首诗蕴藏着什么样的数学知识?

问题2生活中有哪些能够刻画周期性变化的例子?

引导学生联系生活经验,回想生活中能够反映周期变化的例子,诸如:日出日落、一周内七天的变化、水车的转动等．接着播放《古代水墨》(张家界水车群景观)的视频,让学生深刻感受圆周运动的魅力．通过以上数学文化的引入,提出“任意角的三角函数”是研究世界万物周期性变化最为直接的数学模型．

设计意图首先,用一首诗作为引入,揭示生活中的周期现象,体现了数学与人文艺术的结合;其次,播放水车运动的视频,除了让学生深入感受生活中的周期变化外,更有深意.我们知道，“任意角的三角函数”也叫“圆函数”预示着后续的学习和“圆”紧密相关,为抽象数学模型打下基础．数学概念的形成经历漫长的过程,每一个数学概念都是前人智慧的结晶,蕴含着伟大的数学精神和思想．适量数学文化素材的加入,可以让学生在学习数学知识之余,体会数学与生活的联系,感悟数学的文化之美．

2.抽象模型,唤醒坐标

问题3如图1，若点P是水车上任意一点,点P作圆周运动,那么如何刻画点P的位置变化?

问题4“圆形水车”与平面直角坐标系怎样结合才能使后续研究更加直观、简便?

根据学生以往积累的学习经验,预设学生会给出“圆心与平面直角坐标系的原点重合能更加直观地研究点P的运动”的结果．

设计意图通过设问,引导学生引入平面直角坐标系,将圆心与原点重合,完成从“水车转动”到“平面直角坐标系上的圆”的数学抽象,这是建立数学模型的第一步,为接下来的教学做铺垫．

3.探究数学,生成定义

先和学生共同完成第一象限角的坐标填写,而后引导学生自行填写其他三个象限的坐标,填表的过程也是学生进行知识重构的过程,是学生独立思考的过程．

表

设计意图以“直角三角形为载体的锐角三角函数”作复习引入,会导致学生对锐角三角函数的理解依然停留在几何与代数层面上，而非解析层面上.为了避免加深这种认知冲突,这里选取代表四个象限的角进行平行探究．

问题6在上述表格填写的过程中,同学们得出了哪些结论?

学生活动:学生表达自己的发现结果．

教师活动:引导学生去发现，当角度确定时,对应三点的横坐标x，纵坐标y以及r三者之间随之取确定的量．

问题8观察三角函数的形式,与之前所学习的函数有何区别?

首先,三角函数的定义是一个比值；其次,三角函数的比值定义有着特殊性.由于是以平面直角坐标系为依托进行研究,所以这个比值是“坐标的比值”，而非“长度的比值”.那“长度的比值”是否是错误的呢?这时开始向学生讲述三角函数的发展历史,对三角函数研究的起源是天体测量,古希腊天文学家托勒密等人引入了“弦表”,故这时的三角函数均用几何长度表示.16世纪以后,人们引入圆研究锐角所对圆弧的三角函数,但这时依然是用几何与代数表示,即用长度或者长度的比值定义三角函数.直至18世纪以后,欧拉提出了任意角与弧度制,才开始研究任意角的三角函数,但用解析的方法研究任意角的三角函数也是经历了很漫长的过程,基于此,才有了任意角三角函数坐标的比值定义．

问题9针对所学的三角函数,能否将其用更简洁的形式表达?

设计意图关于问题6，7的设置,因为每个学生观察的重点不同,得出的结论也不尽相同,学生此时应当畅所欲言,故此探究教学活动是具有生成性的.关于问题8的设置,让学生对比学习三角函数的特殊性,解释三角函数特殊性的过程也是一个概念历史呈现的过程,使数学文化合理地融入教学.虽然方式不够高级,但能够启发学生,让学生体会概念的发展的曲折与数学家的开创精神．关于问题9的设置,为了引入单位圆定义,同时,让学生体会数学的简洁美,单位圆在后续的学习中常用,最能体现三角函数的周期性．

4.对比旧知,突破冲突

问题10初中学习的锐角三角函数与任意角的三角函数有何联系与区别?

学生活动:学生回忆初中学习过的锐角三角函数的相关知识

教师活动:首先,锐角三角函数是在直角三角形中定义的,是“长度比值”,是从几何与代数的视角进行研究的；任意角的三角函数是以平面直角坐标系为依托,是“坐标的比值”,是从解析几何的视角进行研究的．其次,初中所学的锐角三角函数是求直角三角形中边角的重要工具,而任意角的三角函数则侧重于对应关系的研究,突出了三角函数的“函数性”．

设计意图本设计是从学生学习了任意角三角函数后再对比学习锐角三角函数,而不是由旧知锐角三角函数作为引入去推广任意角的三角函数,因为任意角三角函数不是锐角三角函数的简单推广,可以说在初中阶段所学习的三角函数根本没有触及到函数层面,本教学设计通过“倒叙”形式让学生顺理成章地解决初高三角函数的认知冲突,而不是先引入锐角的三角函数深化这种认知冲突．

5.巩固练习,深化理解(略)

6.课堂小结,提高升华(略)