概率统计命题新动向

■四川省绵阳实验高级中学 余 强

高考对概率与统计内容的考查，往往以实际应用题的形式出现，这既是这类问题的特点，也符合高考发展的方向。近两年高考命题已从“知识立意”“能力立意”向“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”发生转变，侧重考查考生的数学核心素养及能力。随着经济的发展和科技不断创新，特别是当下人工智能化、数据的分析与处理等，都与概率统计息息相关。概率为人工智能提供随机性，为预测提供基础；而统计则对数据进行处理与分析，让结果更好地满足我们的要求，更具有普适性和一般性，以便于我们的应用。概率统计大题往往以生活实际问题为背景，例如，产品的检验检测问题，经济效益的决策问题等，对考生的阅读理解、推理分析、数据运算等能力要求较高。命题者的命题意图往往是希望同学们可以从解题过程中认识到统计与概率的知识在生产与生活中所起的作用。

动向一、解答题难度动态变化

以概率与统计为背景的解答题越来越重要，已成为新高考命题的热点，甚至可能成为高考的压轴题。近几年高考全国Ⅰ卷理科数学概率统计解答题具有以能力为立意、综合性强的特点，2018年高考全国Ⅰ卷理科数学把概率统计大题放到了第20题的位置，2019年高考全国Ⅰ卷理科数学把概率统计大题放到了第21题的位置，可见命题人对概率统计考查要求的提高。2020年高考全国Ⅰ卷理科数学把概率统计大题放到了第19题的位置，难度相对降低，回归考查基础知识。

例 1（2020年高考全国Ⅰ卷理）甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束。经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空。设每场比赛双方获胜的概率都为。

（1）求甲连胜四场的概率；

（2）求需要进行第五场比赛的概率；

（3）求丙最终获胜的概率。

解析：（1）记事件M为甲连胜四场，则。

（2）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为P′=P（ABAB）+P（ACAC）+P（BCBC）+所以需要进行第五场比赛的概率为。

（3）记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输；记事件M为甲赢，事件N为丙赢，则甲赢的基本事件包括BCBC、ABCBC、ACBCB、BABCC、BACBC、BCACB、BCABC、BCBAC，所以甲赢的概率为。

由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，所以丙赢的概率为P（N）=1-2×。

评注：独立事件的概率在近几年全国高考中出现频率较高，2019年全国Ⅱ卷的第19题也进行了考查，值得关注。本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查同学们的数学阅读能力和计算能力。

动向二、加大对数学建模的考查

通过建立数学模型，解决实际问题是高考要求的重要内容。特别是伴随着大数据时代的到来，人们常常需要对网络文本、声音、图像等大量信息进行数字化处理，使数学模型的研究领域与应用领域得到极大拓展，特别是随着统计与概率知识在中学数学中内容的增加，为同学们的数学建模提供了知识储备和解题工具。在对其考查时可以从模型建立、检验模型等方面设置问题。在对数学建模考查时，更为注重根据题干中的精确数据构建数学模型，强调用数学知识、思想方法解决数学问题的能力，淡化对数据的分析和处理。因此，回归直线模型的应用在全国卷中一直占据重要地位。

例 2（2020年高考全国Ⅰ卷理）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据（xi，yi）（i=1，2，…，20）得到图1所示的散点图：

图1

由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）

A.y=a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+bexD.y=a+blnx

解析：由散点图可知，在10℃至40℃之间，发芽率y和温度x所对应的点（x，y）在一段对数函数的曲线附近，结合选项可知，y=a+blnx可作为发芽率y和温度x的回归方程类型。

评注：这是2020年全国Ⅰ卷的第5题，虽然难度不大，但是这是回归分析数学模型首次出现在全国高考卷的选择题中。对于非线性回归问题来说，虽然课本上有具体的例题，但考查的较少，所以在学习中很多同学并不是很重视。本题考查回归方程，考查同学们的读图视图能力和数学建模能力，是源于课本的试题类型，因此要引起关注。

动向三、关注抽样与数字特征

数量关系的提炼是在同学们对试题表征分析后，对问题进行分析、加工提炼的过程。在这一过程中我们选取的理论依据直接决定了问题解决的顺利与否。因此，在对提炼数量关系进行考查时，要挖掘题目内涵，选取适当的方法策略、思维路径等。统计图表与数字特征在考查中一般同时出现在一道试题中，这是因为两个知识相辅相成，很难分开，考查的常见形式是根据给出的茎叶图、频率分布表、频率分布直方图、列联表等统计图表，计算数字的数据特征——平均数、中位数、方差或标准差等。这是高考命题的热点。

例 3（2020年高考全国Ⅱ卷理）某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到表1（单位：天）：

表1

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率。

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）。

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成表2所示的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关。

表2

表3

解析：（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为0.43；等级为2的概率为等级为3的概率为等级为4的概率为。

（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为。

（3）2×2列联表如表4所示：

表4

因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关。

评注：本题考查利用频数分布表计算频率和平均数，同时也考查了独立性检验的应用，考查数据处理能力。2020年新高考海南卷和山东卷出现了类似的考题，反映出全国高考卷对统计案例的青睐，需要同学们引起重视。

高考全国卷对概率的考查不只停留在对概率计算的层面，我们的出发点和归宿都是解决问题，能够利用概率的计算结果，为我们的决策提供关键性的依据。高考全国卷对概率的考查重点一般放在以下几个方面：

（1）能根据要解决的问题写出样本空间和基本事件或者随机变量。

（2）能根据实际问题正确地建立概率模型。要求理解古典概型和几何概型各自的特点，能在实际问题中加以应用，重点考查对两种概率模型的理解和应用，而不是公式的简单套用。

（3）分析事件的结构或者随机变量的分布，进行计算或推证。重点考查互斥事件的概率、事件的独立性、离散型随机变量等内容。

（4）将数学解答翻译成现实对象，给出实际问题的解答。

高考全国卷对统计的考查不仅是计算统计量的大小，更重要的是要会用计算得出的样本的数字特征去对总体进行估计，能通过对数据的分析为合理决策提供一些依据，考查样本估计总体的统计思想。高考全国卷对统计的考查重点一般放在以下几个方面：

（1）能够根据要解决的问题选取适合的抽样方法，体会随机性。能够明确简单随机抽样、系统抽样、分层抽样各自的特点，并能根据实际情况选择恰当的抽样方法。

（2）能够把抽取的数据用合适的图表进行表示。能够根据频率分布表、直方图、折线图和茎叶图等各自的特点，在具体问题中有针对性地选择不同的统计图表整理信息。

（3）能够理解样本数据的平均数、标准差和方差等统计量的意义和作用，能够根据具体的统计问题，选择恰当的统计量。

（4）能够对统计量的大小进行正确计算。会利用数据处理线性相关与非线性相关的拟合问题，以及独立性检验。

高考是选拔性考试，试题中一定会体现一些创新性的东西，那么研究高考题发现其内在的规律性就是复习备考的至尊法宝。在高考试卷中对实践应用能力的考查设置具有挑战性的问题情境，这样将有利于激发同学们进行思考。同时在设问时提出有一定跨度的问题引导同学们进行自主探索，动手实验，使同学们在探索的过程中进一步理解所学的数学知识，掌握解决实际问题的方法，增强解决问题的能力。因此，同学们必须养成多练高考题的好习惯，真正领会高考命题的意图及蕴含的真谛。