关于测定杨氏模量的梁弯曲法试验的讨论

吴 晓

(湖南文理学院机械工程学院，湖南 常德 415000)

1 引 言

文献[1]是一本优秀的普通物理实验教材，该教材详细介绍了梁弯曲法测定杨氏模量的试验原理。文献[2]在文献[1]的基础上研究了光杠杆弯曲法测量杨氏模量的原理，文献[3]研究了梁弯曲法测量圆柱形试样杨氏模量。文献[4]对文献[1]测量杨氏模量的梁弯曲法提出了质疑，认为文献[1]测量杨氏模量的梁弯曲法存在错误。基于以上因素，本文采用材料力学理论，对文献[1]测量杨氏模量的梁弯曲法进行了合理解释。

图1 梁弯曲示意图

2 梁的弯曲挠曲线

对于图1所示的梁在外载荷作用下的弯曲，文献[1]推导出了弯曲微分方程为：

(1)

由式(1)可得梁截面转角为：

(2)

式中，B1为待定常数。

由文献[5]可知，图1所示梁弯曲微分方程为：

(3)

对式(3)积分，可得梁截面转角为：

(4)

对式(4)积分，可得梁挠曲线为：

(5)

式中，A1、A2为待定常数。

为了计算图2所示梁中点挠度，文献[1]把图2所示简支梁简化为图3所示集中载荷作用下的悬臂梁，由文献[5]可知是完全合理的。

图2 集中载荷作用下简支梁

图3 集中载荷作用下悬臂梁

由图3可知，梁CB段的梁截面弯矩表达式为：

(6)

把式(6)代入式(4)、式(5)中，可得转角及挠度分别为：

(7)

(8)

由图3可知，梁的边界条件为：

x=0，φ(0)=0，w(0)=0

(9)

由式(7)～式(9)可求得：

(10)

式(7)～式(10)是文献[5]给出的结果。

文献[1]的方法式(2)仅能给出式(7)而不能求出式(8)。文献[1]为了求得CB段的挠度表达式，认为梁微段dx上D点处的水平线与E点处切线的夹角近似为dφ，这样可得梁微段dx上E点与D点之间的挠度差为：

(11)

再对式(11)分部积分可得：

(12)

把式(2)代入式(12)中可得：

(13)

利用边界条件式(9)及式(13)可得：

(14)

下面把式(8)的计算结果与式(13)的计算结果列在表1中。

表1 悬臂梁的挠度

3 讨论分析

由表1可知，文献[1]方法的计算结果与文献[5]方法的计算结果相差很大，仅在梁末端计算结果一致。因此，文献[4]认为，文献[1]的杨氏模量的测定(梁弯曲法)“在实验原理中存在一个错误”，文献[4]且认为文献[1]方法的计算结果与文献[5]方法的计算结果仅在梁末端才一致是“想当然的产物”。文献[4]还认为，文献[1]方法的计算结果与文献[5]方法的计算结果仅在梁末端才一致是“偶然的正确，掩盖了这一错误，致使这一错误长期以来未被发现和纠正”。因此，笔者认为，文献[4]关于文献[1]的杨氏模量的测定(梁弯曲法)“在实验原理中存在一个错误”等观点太绝对、武断。

工程实际中的应用已证明，在小挠度情况下，文献[5]材料力学方法建立的梁理论是正确的，完全可以满足和保证梁在实际工程中的安全和使用。因为在实际工程中，对于等截面梁来说，只要保证控制梁截面沉降处的最大挠度值不超过设计规范所允许的许用挠度值，仅就挠度这一单方面梁可以说是安全了。

文献[1]的式(1)与文献(5)的式(4)是一致的，关键是文献[5]的式(8)与文献[1]的式(13)的计算结果差别很大，但是这不能说文献[1]建立的公式是完全错误的，因为力学理论建立的所有关于实际工程中结构的各种计算理论都是近似的，只是计算精度不同而已。文献[1]的梁弯曲法关于杨氏模量的测定只需要测定出梁的最大挠度值，由于文献[1]方法的计算结果与文献[5]方法的计算结果在梁末端是一致的，所以文献[1]的梁弯曲法关于杨氏模量的测定值是可靠的。那么，是什么原因导致文献[1]方法的计算结果与文献[5]方法的计算结果在梁末端是一致的呢？对比式(8)与式(13)可以看出，在梁末端式(8)与式(13)是一致的，因为在梁末端时，文献[1]方法计算出梁末端角度与文献[5]方法计算出梁末端角度是一致的，对比式(2)与式(4)就可看出，所以文献[1]方法的计算结果与文献[5]方法的计算结果在梁末端是一致的。

由以上计算分析可知，文献[1]关于测定杨氏模量的梁弯曲法的试验原理不是错误的，仅是由于假设导致关于梁挠度的计算在除梁末端以外梁段计算精度误差较大而已。