二维各向异性多孔材料多轴蠕变行为的数值模拟

刘浩伟，苏步云,2,3，邱 吉，李志强,2,3

（1. 太原理工大学机械与运载工程学院应用力学研究所，山西 太原 030024；2. 材料强度与结构冲击山西省重点实验室，山西 太原 030024；3. 力学国家级实验教学示范中心（太原理工大学），山西 太原 030024）

多孔材料因具有比强度高、吸能优良、抗震性能好等优良特性，在汽车和飞机结构的轻量化设计、防护包装、换热器等领域具有广阔的应用前景。值得注意的是，大多数多孔材料经常在高温环境下长期服役[1-2]，在此条件下必须考虑其蠕变行为的影响。因此，建立合适的多孔材料蠕变本构模型尤为重要。合适的蠕变本构模型能够使设计变得更加合理，进而延长部件的使用寿命。

为了研究多孔材料的蠕变行为，Andrews 等[3]、Hodge 等[4]分别基于弯曲主导的立方模型和轴压主导的多孔材料模型，推导了开孔蜂窝材料的单轴稳态蠕变速率。卢子兴等[5]通过对Warren 等[6]的正四面体模型支柱节点处的体积进行修正，得到了一种新的四面体模型，并将其用于预测相对密度较大的多孔材料蠕变性能。

随着数值模拟技术的发展，有限元分析（Finite element analysis，FEA）越来越多地被应用于多孔材料蠕变行为研究中。Andrews 等[7]模拟了二维Voronoi 模型的稳态蠕变率，分析了边界条件和胞壁曲率对单轴蠕变行为的影响，结果表明：细观结构对多孔材料的蠕变速率和寿命有显著影响，其中胞壁曲率对蠕变速率的影响最大，胞孔形状和大小的分布也影响蠕变速率。Oppenheimer 等[8]构建了具有不同微观结构的单元胞体模型，比较了不同应力状态下多孔材料的应力分布特征和变形机理。Huang 等[9]提出了一种利用具有周期性边界条件的三维Voronoi 模型确定理论公式参数的方法。Zhu 等[10]用线性黏弹性理论分析了开孔低密度聚合物多孔材料的高应变蠕变行为，使用Kelvin 模型模拟了聚氨酯泡沫的微观结构，通过测量应力、松弛模量和密度预测压缩蠕变曲线，结果表明，当胞元的边发生非线性变形时，蠕变速率会加快。Su 等[11]利用二维蜂窝和三维十四面体模型研究了缺陷对蜂窝材料蠕变行为的影响，提出了一种预测蜂窝材料单轴蠕变率的经验模型，该模型是不同类型缺失棱壁比例的函数。

在实际工程应用中，材料经常处于复杂的应力状态[12]；而且，许多天然多孔材料，如木材、骨头等均表现出明显的各向异性[1-2,13]；此外，对于大多数人工多孔材料，在发泡过程中其微观结构会不可避免地在上升方向被拉长，从而导致多孔材料呈各向异性。Su 等[14]利用三维Voronoi 模型，研究了横观各向同性多孔材料的多轴蠕变行为，建立了多孔材料的唯象蠕变本构模型。然而，目前关于多孔材料蠕变行为的研究大多集中在各向同性材料及其单轴蠕变行为上，各向异性多孔材料及其多轴蠕变行为的研究[15-17]非常少。基于此，本研究拟通过建立有限元模型来研究二维各向异性多孔材料的多轴蠕变行为，推导相应的本构模型，进而为实际工程应用提供理论指导。

1 有限元模型建立

图1 二维各向异性多孔材料有限元模型的建立Fig. 1 Establishment of finite element model of 2D anisotropic cellular material

图2 二维多孔材料多轴加载示意图Fig. 2 Schematic of 2D cellular material under multiaxial loading

2 模拟结果及分析

2.1 各向异性程度对单轴蠕变行为的影响

图3 二维各向异性多孔材料在不同方向的稳态蠕变率Fig. 3 Steady creep strain rate of 2D anisotropic cellular material in different directions

图3 给出了Voronoi 随机模型在不同方向上的稳态蠕变率随材料各向异性程度R的变化趋势，其中：有限元模拟结果用数据点表示，拟合结果用实线表示。

从图3 中可以明显地看出：随着R的增大，沿方向1 的稳态蠕变率（ ε˙1）减小，而沿方向2 的稳态蠕变率（ ε˙2）增大，单轴蠕变性能表现出明显的各向异性。同时从图3 还可以看出，不论是 ε˙1还是ε˙2，均呈现出幂函数形式的变化趋势。因此，采用幂函数来描述二维各向异性多孔材料在不同方向上单轴稳态蠕变率的变化规律，拟合结果见图3。

2.2 各向异性程度对多轴蠕变行为的影响

2.2.1 多孔材料多轴蠕变本构模型的建立

可见，模拟结果与拟合函数具有非常好的一致性，进一步证明了所用拟合函数的合理性。

为了验证本研究所建立的二维各向异性多孔材料蠕变模型的有效性，将拟合得到的弹塑性参数代入蠕变模型中，通过大量的有限元数值模拟对其进行有效性验证。所有模拟工况可分为以下两类：（1）令R=1.0，k在-1.0～1.0 区间变化，结果如图5(a)所示；（2）令k=0.5，R在1.0～1.3 区间变化，结果如图5(b)所示。可以看出：对于第1 类工况，随着k的增大，方向1 的稳态蠕变率逐渐减小，且当k＞ 0 时，下降趋势逐渐变缓；对于第2 类工况，当R从1.0 增大到1.3 时，方向1 的稳态蠕变率从1 × 10-7s-1逐渐降低。显然，该理论模型能有效预测各向异性多孔材料的多轴蠕变行为。

图4 弹塑性参数拟合结果Fig. 4 Elastoplastic parameter fitting results

图5 理论模型与有限元分析结果对比Fig. 5 Comparison of the phenomenological model and the FEA results

3 结 论

对二维各向异性多孔材料进行了大量的多轴蠕变数值模拟，通过引入几何拉伸系数R，分析了各向异性程度对弹塑性参数和多轴稳态蠕变率的影响。结果表明：r1和 ν12随着R的增大而增大，而r2随R的增大而减小；当R从1.0 增大到1.3 时，方向1 的稳态蠕变率逐渐降低，而方向2 的稳态蠕变率呈相反的变化趋势。基于特征应力-特征应变关系，提出了一个能表征二维各向异性多孔材料多轴蠕变行为的本构模型。理论与数值模拟结果对比显示，两者具有较高的吻合程度，证明了该唯象模型的有效性。