有界线性算子的限制及其谱性质

陈俐宏，苏维钢

（福建师范大学数学与信息学院，福建 福州 350117）

0 引言

文中，设X是无限维复Banach 空间，L(X)表示X上的有界线性算子的全体。对于T∈L(X)，α(T)表示零空间N(T)的维数，β(T)表示值域R(T)的亏维，p(T)和q(T)分别表示T的升指数和降指数，即

（若下确界不存在，记p(T)=∞，q(T)=∞），若T的升指数和降指数都是有限的，则两者相等（见文 献［1］的定理1.19）。若α(T)和β(T)都有限（R(T)是闭的且α(T)＜∞），则称T是Fredholm 算子（上半Fredholm 算子），且Fredholm 指标定义为ind(T)=α(T)-β(T)。若T是上半Fredholm 算子且p(T)＜∞，则称T是上半Browder 算子。若T是上 半Fredholm 算子且ind(T)≤0，则 称T是上半Weyl 算子。若p(T)＜∞且R(Tp(T)+1)是闭的，则T是左Drazin 可逆的。若p(T)=q(T)＜∞，则T是Drazin 可逆的。

对任意的n∈N，Tn表示T在R(Tn)上的限制，即T：R(Tn)→R(Tn)（特别地，T0=T）。若存在n∈N，使得R(Tn)是闭的且Tn是Fredholm 算子（上半Fredholm 算子），则称T是B-Fredholm 算子（上半B-Fredholm 算子）。由文献［2］的命题2.1 知，若存 在n∈N，使得R(Tn) 是闭的 且Tn是上半Fredholm 算子，则R(Tm) 是闭的，Tm是上半Fredholm 算子且ind(Tm)=ind(Tn)，∀m≥n。所以，半B-Fredholm 算子T的指标可以用半Fredholm 算子Tn的指标定义，即ind(T)=ind(Tn)。若存在n∈N，使得R(Tn)是闭的 且Tn是上半Browder 算子，则称T是上半B-Browder 算子。若T是上半B-Fredholm 算子且ind(T)=ind(Tn)≤0，则称T是上半B-Weyl 算子。

对于T∈L(X)，记T的谱为σ(T)，近似点谱为σa(T)，

σub(T)={λ∈C:λI-T不是上半Browder算子}，

σuw(T)={λ∈C:λI-T不是上半Weyl算子}，

σusbb(T)={λ∈C:λI-T不是上半B-Browder算子}，

σusbw(T)={λ∈C:λI-T不是上半B-Weyl算子}，

σld(T)={λ∈C:λI-T不是左Drazin可逆算子}

分别表示T的上半Browder 谱、上半Weyl 谱、上半B-Browder 谱、上半B-Weyl 谱和左Drazin 可逆谱，由文献［1］的定理4.91 知，σld(T)=σusbb(T)。

若λI-T左Drazin 可逆，则称λ∈σa(T)为T的左极点，记∏a(T)为T的所有左极点所构成的集合。若0＜p(λI-T)=q(λI-T)＜∞，则称λ∈C为T的预解式的极点（简称极点），记∏(T)为T的所有极点所组成的集合。此外，记

设T∈L(X)，GUPTA 等［3-4］分别引入了谱性质Baw 和Bab 的概念。若σa(T)σusbw(T)=(T)，则 称T满足谱性质Baw；若σa(T)σusbw(T)=(T)，则称T满足谱性质Bab。文献［5］引入了谱性质Caw 和Cab 的概念，若σa(T)σuw(T)=Ea(T)，则称T满足谱性质Caw；若σa(T)σuw(T)=∏a(T)，则称T满足谱性质Cab。

算子的限制Tn的引入为B-Fredholm 算子理论的建立奠定了基础，因此，研究算子的限制Tn，尤其是T与Tn的关系，具有重要意义。本文通过探讨算子T与其限制Tn的关系，得到T满足谱性质Cab（谱性质Caw，Bab，Baw）等价于Tn满足谱性质Cab（谱性质Caw，Bab，Baw）的条件。

1 有界线性算子T与其限制Tn的关系

证明由文献［6］的引理2.1 知，式（1）～式（5）成立。式（6）中，若q(λI-T)＜∞，由式（2）知，R((λI-Tn)q(λI-T))=R((λI-T)q(λI-T))∩R(Tn)=R((λI-T)q(λI-T)+1)∩R(Tn)=R((λI-Tn)q(λI-T)+1)，所以q(λI-Tn)＜∞。反之，若q(λI-Tn)＜∞，由文献［7］的引理3 知，q(λI-T)＜∞。

利用引理1，可得到以下重要引理：

引理2设T∈L(X)，0 ∉∏(T)，若存在正整数n，使得R(Tn)是闭的，则∏(T)=∏(Tn)。

证明若0 ∉∏(T)，可断言σ(T)=σ(Tn)。事实上，设λ∉σ(Tn)，（i）若λ=0，则p(Tn)=q(Tn)=0，由文献［7］的引理2 和引理3 知，p(T)=q(T)＜∞。又 因 0 ∉∏(T)，显 然p(T)=q(T)=0，所 以λ∉σ(T)。（ii）若λ≠0，则α(λI-Tn)=β(λITn)=0，由引理1 知，α(λI-T)=β(λI-T)=0，所 以λ∉σ(T)，因 此σ(T)⊆σ(Tn)。反 之，设λ∉σ(T)，（i）若λ=0，即T是可逆的，则Tn=T，所以λ∉σ(Tn)。（ii）若λ≠0，则α(λI-T)=β(λIT)=0，由引理 1 知，α(λI-Tn)=β(λI-Tn)=0，所以λ∉σ(Tn)，因此σ(Tn)⊆σ(T)。

先证∏(T)⊆∏(Tn)。设λ∈∏(T)，0 ＜p(λIT)=q(λI-T)＜∞。因0 ∉∏(T)，则λ≠0，由引理1 知，0 ＜p(λI-Tn)=p(λI-T)＜∞且q(λITn)＜∞，所以0 ＜p(λI-Tn)=q(λI-Tn)＜∞，即λ∈∏(Tn)。

再 证 ∏(Tn)⊆∏(T)。设λ∈∏(Tn)，则λ∈σ(Tn) 且0 ＜p(λI-Tn)=q(λI-Tn)＜∞。由文献［7］的引理2 和引理3 知，p(λI-T)=q(λIT)＜∞。若p(λI-T)=q(λI-T)=0，即λ∉σ(T)，因σ(T)=σ(Tn)，则λ∉σ(Tn)，矛盾，因此0 ＜p(λI-T)=q(λI-T)＜∞，即λ∈∏(T)。

引理3设T∈L(X)，0 ∉∏a(T)，若存在正整数n，使得R(Tn)是闭的，则∏a(T)=∏a(Tn)。

证 明若0 ∉∏a(T)，可断言σa(T)=σa(Tn)。事实上，设λ∉σa(Tn)，（i）若λ=0，则p(Tn)=0 且R(Tn)是闭的，由文献［7］的引理2 知，p(T)＜∞。由文献［7］的 注 1 知，p(T)=inf {k∈N：Tk是单射}≤n。又因R(Tn+1)=R(Tn)是闭的，由文献［6］的引理1.1 知，对任意的m≥p(T)，R(Tm)是闭的，所以T是左Drazin 可逆的。假设0 ∈σa(T)，则0 ∈∏a(T)，矛盾，因此λ∉σa(T)。（ii）若λ≠0，则N(λI-Tn)={0}且R(λI-Tn)是闭的，由引理1和文献［8］的引理1.5 知，N(λI-T)={0} 且R(λI-T) 是闭的，所 以λ∉σa(T)。因 此σa(T)⊆σa(Tn)。

反 之，设λ∉σa(T)，（i）若λ=0，则N(T)={0}且R(T)是闭的，从而N(Tn)=N(T)∩R(Tn)={0}。又因p(T)=0 且R(T)是闭的，由文献［6］的引理1知，R(Tn)=R(Tn+1)是闭的，所以λ∉σa(Tn)。（ii）若λ≠0，由引理1 知，N(λI-Tn)=N(λI-T)={0}且R(λI-Tn)=R(λI-T)∩R(Tn)是闭的，所 以λ∉σa(Tn)，因此σa(Tn)⊆σa(T)。

先 证 ∏a(T)⊆∏a(Tn)。设λ∈∏a(T)，则λ∈isoσa(T)，p(λI-T)＜∞且R((λI-T)p(λI-T)+1)是闭的。因σa(T)=σa(Tn)，所 以λ∈isoσa(T)=isoσa(Tn)。又因0 ∉∏a(T)，所以λ≠ 0，由引理1知，p(λI-Tn)=p(λI-T) ＜ ∞且R((λI-Tn)p(λI-Tn)+1)=R((λI-T)p(λI-Tn)+1) ∩R(Tn)=R((λI-T)p(λI-T)+1) ∩R(Tn) 是闭的，因 此λ∈∏a(Tn)。

再 证∏a(Tn)⊆∏a(T)。设λ∈∏a(Tn)，（i）若λ=0，则0 ∈∏a(Tn)=σa(Tn)σld(Tn)。因σld(Tn)=σusbb(Tn)，所 以Tn是上半B-Browder 算子，即存在m∈N，使得R()=R(Tn+m)是闭的且Tn[m]是上半Browder 算子，其中Tn[m]表示T在R(Tn+m)上的限 制。因 此T是上半B-Browder 算子，从 而0 ∉σusbb(T)=σld(T)。又 因σa(T)=σa(Tn)，所 以0 ∈σa(T)，λ∈σa(T)σld(T)=∏a(T)。（ii）若λ≠0，则λ∈σa(Tn)，p(λI-Tn)＜∞ 且R((λITn)p(λI-Tn)+1) 是闭的。因σa(T)=σa(Tn)，所 以λ∈σa(T)。由引理1 和文献［8］的引理5 知，p(λI-T)=p(λI-Tn)＜ ∞且R((λI-T)p(λI-T)+1)=R((λI-T)p(λI-Tn)+1)是闭的，因此λ∈∏a(T)。

引理4设T∈L(X)，0 ∉∏(T)，若存在正整数n，使得R(Tn)是闭的，则∏0(T)=∏0(Tn)。

证明由于0 ∉∏(T)，因此0 ∉∏0(T)。假设0 ∈∏0(Tn)，则0 ∈∏(Tn)，由引理2 知，0 ∈∏(T)，矛盾。因此0 ∉∏0(Tn)。于是，对任意的0 ≠λ∈C，由引理1 知，α(λI-T)=α(λI-Tn)，又由引理2 知，∏(T)=∏(Tn)，所 以∏0(T){0}=∏0(Tn){0}，即∏0(T)=∏0(Tn)。

引理5设T∈L(X)，0 ∉∏a(T)，若存在正整数n，使得R(Tn)是闭的，则(T)=(Tn)。

证明类比引理4 的证明过程，利用引理1 和引理3 可证得(T)=(Tn)。

引理6设T∈L(X)，0 ∉E(T)，若存在正整数n，使得R(Tn)是闭的，则E(T)=E(Tn)。

证 明设λ∈E(T)，则λ∈isoσ(T) 且α(λI-T)＞0。因0 ∉E(T)，所 以0 ∉∏(T)，由 引理 2 的证明 过程知，σ(T)=σ(Tn)，从 而λ∈isoσ(Tn)，显然λ≠0。由引理1 知，α(λI-Tn)=α(λI-T)＞0，所以λ∈E(Tn)。因此E(T)⊆E(Tn)，反之，设λ∈E(Tn)，则λ∈isoσ(Tn)且α(λI-Tn)＞0。同理可 知，σ(T)=σ(Tn)，则λ∈isoσ(T)。又 因N(λI-Tn)⊆N(λI-T)，有α(λI-Tn)≤α(λIT)，所以λ∈E(T)，E(Tn)⊆E(T)。

引理7设T∈L(X)，0 ∉Ea(T)，若存在正整数n，使得R(Tn)是闭的，则Ea(T)=Ea(Tn)。

证明类比引理6 的证明过程，由引理1 和引理3 可 证得Ea(T)=Ea(Tn)。

类比引理4 的证明过程，由引理6 和引理7 可分别证得以下2 个引理。

引理8设T∈L(X)，0 ∉E(T)，若存在正整数n，使得R(Tn)是闭的，则E0(T)=E0(Tn)。

引理9设T∈L(X)，0 ∉Ea(T)，若存在正整数n，使得R(Tn)是闭的，则(T)=(Tn)。

2 谱性质及其限制

探讨T满足谱性质Cab（谱性质Caw，Bab，Baw）等价于Tn满足谱性质Cab（谱性质Caw，Bab，Baw）的条件。

定理1设T∈L(X)，0 ∉∏a(T)，则T满足谱性质Cab 当且仅当存在n∈N 使得R(Tn)是闭的且Tn满足谱性质Cab。

证明充分性。若存在n∈N，使得R(Tn)是闭的 且Tn满足谱性质Cab，则σa(Tn)σuw(Tn)=∏a(Tn)。设λ∈∏a(T)，由引理3 知，λ∈∏a(Tn)=σa(Tn)σuw(Tn)，则λI-Tn是上半Weyl 算子，即R(λI-Tn) 是闭的 且 ind(λI-Tn)≤∞，因0 ∉∏a(T)，显 然λ≠0，由文献［8］的引理5 知，R(λI-T)是闭的。又由引理1 知，α(λI-T)=α(λI-Tn)且β(λI-T)=β(λI-Tn)，则ind(λIT)=ind(λI-Tn)≤∞，所以λI-T是上半Weyl 算子，即λ∈σa(T)σuw(T)。因 此∏a(T)⊆σa(T)σuw(T)。反之，设λ∈σa(T)σuw(T)，（i）若λ=0，则T是上半Weyl 算子，即T是上半Fredholm 算子且ind(T)≤∞。因T0=T是上半Fredholm 算子，由文献［2］的定理2.1 知，Tn是上半Fredholm 算子且ind(Tn)=ind(T)≤∞，所以λI-Tn是上半Weyl 算子。（ii）若λ≠0，则λI-T是上半Weyl 算子，即R(λI-T)是闭的且ind(λI-T)≤∞。由引理1知，R(λI-Tn)=R(λI-T)∩R(Tn) 是闭的，α(λI-Tn)=α(λI-T)且β(λI-Tn)=β(λI-T)，即ind(λI-Tn)=ind(λI-T)≤∞，所 以λI-Tn是上半Weyl 算子。因0 ∉∏a(T)，由引理3 的证明过程知，σa(T)=σa(Tn)，所 以λ∈σa(Tn)σuw(Tn)。又因Tn满足谱性质Cab，由引理3 知，λ∈∏a(Tn)=∏a(T)，所以σa(T)σuw(T)⊆∏a(T)。因此σa(T)σuw(T)=∏a(T)，即T满足谱性质Cab。

必要性。若T满足谱性质Cab，令n=0，则R(T0)=X是闭的且T0=T满足谱性质Cab。

定理2设T∈L(X)，0 ∉Ea(T)，则T满足谱性质Caw 当且仅当存在n∈N 使得R(Tn)是闭的且Tn满足谱性质Caw。

证明充分性。若存在n∈N，使得R(Tn)是闭的 且Tn满足谱性质Caw，则σa(Tn)σuw(Tn)=Ea(Tn)。设λ∈Ea(T)，类比定理1 的证明过程，由引理1 和引理7 可证得Ea(T)⊆σa(T)σuw(T)。反之，因Tn满足谱性质Caw，由文献［5］的定理6 知，Tn满足谱性质Cab。因0 ∉Ea(T)，显然0 ∉∏a(T)，由定 理1 知，T满足谱性质Cab，即σa(T)σuw(T)=∏a(T)。又 因 ∏a(T)⊆Ea(T)，所 以σa(T)σuw(T)⊆Ea(T)。因 此σa(T)σuw(T)=Ea(T)，即T满足谱性质Caw。

必要性。类比定理1 的证明过程可得。

定理3设T∈L(X)，0 ∉∏a(T)，则T满足谱性质Bab 当且仅当存在n∈N 使得R(Tn)是闭的且Tn满足谱性质Bab。

证明由文献［5］的定理9 知，T满足谱性质Bab 等价于T满足谱性质Cab，由定理1 可证得。

定理4设T∈L(X)，0 ∉Ea(T)，则T满足谱性质Baw 当且仅当存在n∈N 使得R(Tn)是闭的且Tn满足谱性质Baw。

证明充分性。若存在n∈N，使得R(Tn)是闭的 且Tn满足谱性质Baw，则σa(Tn)σusbw(Tn)=(Tn)。设λ∈(T)，由引理9 知，λ∈(Tn)=σa(Tn)σusbw(Tn)，则λI-Tn是上半B-Fredholm 算子，从而存在m∈N，使得R((λI-Tn)m)是闭的。因0 ∉Ea(T)，显 然λ≠0，由文献［8］的引理5 知，R((λI-T)m) 是闭的。又 因λ∈(T)，所 以α(λI-T)＜∞，从而α((λI-T)m)＜∞，(λI-T)m是上半Fredholm 算子。又由文献［1］的定理1.46知，λI-T是上半Fredholm 算子。因λ∈isoσa(T)，所以T在λ处具有单值扩张性（single valued extension property，SVEP），又由文献［1］的推论2.48 知，ind(λI-T)≤∞，从而λI-T是上半Weyl算子，λ∈σa(T)σuw(T) ⊆σa(T)σusbw(T)。因此，(T)⊆σa(T)σusbw(T)。反之，因Tn满足谱性质Baw，由文献［3］的定理4 知，Tn满足谱性质Bab。因0 ∉Ea(T)，显然0 ∉∏a(T)，则由定理3 知，T满足谱性质 Bab，即σa(T)σusbw(T)=(T)。因(T)⊆(T)，所以σa(T)σusbw(T)⊆(T)，有σa(T)σusbw(T)=(T)，即T满足谱性质Baw。

必要性。类比定理1 的证明过程可得。

注1将以上4 个定理的条件改为0 ∉isoσa(T)，结论依然成立。