一种根据ADMM 改进的图像去噪方法

哈尔滨工程大学 信息与通信工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001

图像作为人们获取知识的主要载体，已经得到了一定的发展。但是，在图像去噪[1−2]这方面仍然有着需要改进的地方，图像去噪重构精度不够、时间开销比较大[3]等都需要进一步研究与学习。所以，本文主要针对这2 个方面进行研究，通过结合压缩感知[4−6]和交替方向乘子法（alternating direction method of multipliers,ADMM）[7−9]的相关知识，以期找到一个更好的解决方法，从而可以达到更好的图像去噪效果。

1 一种基于熵函数的重构算法

本节主要针对lp问题[10−14]的改进。该问题广泛应用于信号处理、自适应滤波、系统识别等众多领域，其表达式为

显然，式(1)中的函数F(x)是非光滑函数，本文采用极大熵函数进行求解，假设：

又因为存在以下关系：

所以，对比式(2)、(3)可以知道，非线性lp的求解问题可以转化为关于参数q的最优化问题：

式中：0＜p＜1;q→∞。

式(4)中函数F(x,q)是关于x的可微函数，而且和二次连续可微函数fi(x)相比，拥有同阶光滑性。

鉴于实验仿真的考虑，现将熵函数进行变形：

则该熵函数的偏导为

基于上述理论，可以得到基于熵函数的重构算法，算法模型为

所以，基于一种熵函数的重构算法（reconstruction algorithm based on maximum entropy algorithm,MEA-RA）的求解步骤如下所示：

输入压缩后的信号y，观测矩阵 Φ、λ、p。

输出重构目标信号x。

初始化x(0)=ΦT(ΦΦT)−1y，，β=10−6。Υ

1)循环：t=1,2,···,Υ。

a)通过求解式(5)来更新x(t)，得到x(t+1)：

c)判断是否满足迭代终止条件：|x(t+1)−x(t)|＜ξ或者β=βΥ，其中 ξ是一个很小的正常数，Υ是使迭代满足终止条件的最小值。若满足，结束循环；若不满足，返回1)；

2)得到稀疏目标信号的解：x=x(t+1)。

为了更好地体现重构效果，本文将上述方法与其他相关算法进行对比，来充分说明本文所提算法的优越性。评价的标准是峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)、结构相似性(structural Similarity，SSIM)和所需时间t。具体分析与讨论下面将会介绍。

首先，本节与MEA-RA 算法对比的是基于Lq最小化的稳定稀疏逼近（stable sparse approximation based on Lq minimization,StSALq）算法[15]、复合三角函数零空间重加权近似l0范数(composite trigonometric function null-space reweighted approximatel0-norm，CTNRAL0)[16]、LP正则化最小二乘算法(lpregularized least squares algorithm，lp-RLS)[17]、近似消息传递算法(approximate message passing,AMP)[18]。本节以256×256的Peppers 图像作为实验对象(如图1 所示)，并且在不同压缩比的情况下，对这些算法进行仿真分析。实验中，取压缩比(compression ratio,CR)分别为0.4、0.5、0.6，添加的噪声是均值为零、方差为0.01 的高斯噪声。

图1 Peppers 原图

去除噪声恢复后的效果图如图2～4 所示，从图2～4 中可以看出，当CR 大于0.5 时，所有算法都可以很好地恢复出原始的图片，尤其是MEA-RA算法的效果最好，但是其他4 种算法恢复的图像仍然会有一些小的噪点。在CR 等于0.4 的时候，效果更加明显。尤其是StSALq 算法，去除噪声后恢复的图像出现了一些线状的噪声，而且边缘地方恢复的效果也不是很好。而MEA-RA 算法仍然可以恢复出很好的效果，并且没有明显的噪声。这些分析都是从主观上进行的，下面将从客观数据上对其进行更充分的说明。

图2 压缩比CR=0.4，5 种重构算法的恢复效果

图3 压缩比CR=0.5，5 种重构算法的恢复效果

图4 压缩比CR=0.6，5 种重构算法的恢复效果

其次，本文将从PSNR 和SSIM 2 方面进行考虑，如表1 所示。MEA-RA 算法在PSNR 方面，值是最大的，而且比其他最好的算法在数值上提升了至少1 dB 以上，说明恢复的效果也是最好的。在SSIM方面，该算法也是最接近1 的，也就说明本文所提算法恢复后的图像和原图像基本上是一致的。另外4 种算法，相对来说没有那么理想，尤其是在压缩比比较低的时候，StSALq 算法恢复的PSNR值只有21.811 dB、CTNRAL0 算法只有24.989 dB，lp-RLS 算法为26.343 dB。所以，综合来看，MEARA 算法具有相对其他4 种算法最好的效果。

表1 不同算法在不同CR 时恢复的图像的PSNR、SSIM 值

最后，从运算所需时间上进行分析，如表2 所示。MEA-RA 算法的运行时间是相对最短的，其他几种算法的时间都比较长，尤其是StSALq 算法、CTNRAL0 算法和lp-RLS 算法，这3 种算法的运行时间过长，在当前的实际环境中很难使用。另外，从不同压缩比所用的时间来看，每种算法所受的影响都不同，但总体趋势，即相对时间的多少是不变的。所以，比较来看，MEA-RA 算法是相对最优的。但是在时间上仍然有很大的改进空间。

表2 不同算法在CR 不同时去噪恢复所需要的时间 s

综上所述，在对比的几种算法中，MEA-RA 算法的PSNR 和SSIM 值最高，在PSNR 值上至少提升了1 dB，并且运行时间也是最短的，是这几种算法中最好的。但是仍然存在需要改进的地方，下节会对其进行进一步分析，在时间上进行进一步优化。

2 基于ADMM 改进的去噪方法

由第1 节可以知道，在比较的几种重构算法中，MEA-RA 算法的重构效果最好，并且时间也是相对比较少的。为了实现更快更好的去噪重构效果，本文将该算法与ADMM 算法[19−20]进行结合，提出了一种更快而且图像去噪重构效果更好的算法。

1）设计运营架构，即从政府、企业以及行业三方着手，调查其涉及的相关业务，在构建运营架构之后协调三方的关系，在确保其具有良好的交互关系后，便可以按照相互协作、管理和投资等关系进行城市运营活动；

所提算法是一种基于ADMM 改进的重构算法。主要是将MEA-RA 算法和ADMM 算法进行结合，利用ADMM 算法实现MEA-RA，所以提出一种速度更快的新算法——基于ADMM 改进的MEA-RA 算法（improved MEA-RA algorithm based on ADMM,MEA-RA-ADMM）。

该算法的具体实现步骤如下：

输入压缩后的信号y、Φ、λ、p、q。

输出重构目标信号x。

初始化x(0)=ΦT(ΦΦT)−1y，v(0)=x(0)，u(0)=0，β0=/log2，β==β0，βΥ=10−6。

1)外部循环：t=1,2,···,Υ。

a)内部循环：k=0,1,···,iter，iter 为迭代次数；

u(k+1)=u(k)−(x(k+1)−v(k+1))

b)将a)得到的结果赋值给x(t)，然后通过求解式(6)来更新x(t)，得到x(t+1)：

d)判断是否满足迭代终止条件：|x(t+1)−x(t)|＜ξ或者β=βΥ，其中ξ是一个很小的正常数。若满足，结束循环；若不满足，返回1)；

2)得到稀疏目标信号的解：x=x(t+1)。

2.1 参数的选择

本文由于涉及到lp范数，在实际的实验中将对p进行精确取值，为了实验可以达到最好的效果，下面将对不同的p值进行实验，并计算不同p的取值情况下归一化均方误差（normalized mean square error,NMSE）的数值。NMSE 值越小说明图像去除噪声后恢复效果越好。在这里，将二者的曲线绘制成二维曲线图，如图5 所示。从图5 中可以知道，在p的取值为0.1～0.8 时，NMSE 逐渐减少，从0.8～1 呈现逐渐增大的趋势，在p的取值为0.8 时取得最小值。这也说明在p为0.8 时，本文算法取得最好的效果。所以，在接下来的实验中设置常数p=0.8。

图5 范数 p 对算法的影响

本算法首先调节熵函数替换lp范数，之后为了达到更好的去噪效果，引入正则化机制，即添加正则化常数。同样为了达到更好的效果，本文对不同的 λ值进行取值，并比较不同 λ值情况下NMSE 的变化情况，从而可以更好地把控参数对本文算法的影响。通过实验，并将结果绘制成如图6 所示的二维曲线图。从实验中可以知道，在λ取值为10−8～10−2时，曲线比较平稳；在 λ取值大于10−2时，曲线出现逐渐增长的趋势，即NMSE 的值逐渐变大。基于这种情况，本文取 λ=10−5。在接下来的实验中设置 λ为10−5。

图6 参数 λ对算法的影响

2.2 实验仿真分析

本文以下面2 幅图像作为实验对象，如图7 所示。主要考虑高斯噪声对信号的影响。与MEA-RAADMM 对比的算法选择MEA-RA 和基于ADMM的BM3D 算法2 种。选择的一个依据是改进之前，通过实验可以知道这种改进方式是否有用、是否可以提升算法的性能；选择的另一个依据是该算法是典型的算法，BM3D 是去噪效果很好的一种去噪算法，将其应用到ADMM，更有一定的说服力。所以，选择了这2 种算法。接下来，将添加不同噪声强度的高斯信号，并且在不同压缩比下分别对这3 种算法进行对比，并分析实验的结果。

图7 Lenna 和Parrots 原图

首先以Lenna 图为目标图，如图8～11 所示为3 种算法在压缩比为0.6、添加噪声强度分别为0.07、0.09、0.10、0.20 等4 种情况下去噪的恢复效果图以及残差图。从图8～11 中可以看出，MEARA-ADMM 性能最好，恢复的图像最接近原始图像。而其他2 种算法都存在一些噪声，尤其是帽子和头发部分。另外，随着噪声的增加，去除噪声后恢复的效果也在逐渐变差，但是MEA-RAADMM 仍然可以恢复很好的效果。

图8 噪声强度为0.07、压缩比为0.6，3 种算法的去噪恢复图以及残差图

图9 噪声强度为0.09、压缩比为0.6，3 种算法的去噪恢复图以及残差图

图10 噪声强度为0.10、压缩比为0.6，3 种算法的去噪恢复图以及残差图

图11 噪声强度为0.20、压缩比为0.6，3 种算法的去噪恢复图以及残差图

图8～11 中上方的图为3 种算法的去噪恢复图，下方的图为残差图。上面仅仅是主观评价，为了使结果更具有说服力，本文从残差值、峰值信噪比(PSNR)、归一化均方误差(NMSE)和时间上分别进行比较，其中NMSE 和SSIM 均是对原图与恢复效果图误差的评估。

首先，从残差上进行分析和比较3 种重构算法去除噪声后的恢复效果。如图8～11 和表3 所示，本文所提算法是三者中残差最小的，从残差图中基本看不到噪点。另外2 种算法噪点相对比较多，也可以说明本文所提算法是最优的。

其次，从PSNR 和NMSE 2 方面进行分析和对比。从表3、4 可以知道，本文所提算法MEA-RAADMM 的PSNR 是最大的，并且NMSE 是最小的。从数值上看，本文所提算法在PSNR 上比单纯的MEA-RA 算法提升了1.3 dB，比基于ADMM的BM3D 算法提升更多；在NMSE 上比单纯的MEA算法降低了10%。所以本文所提MEA-RA-ADMM是一种恢复效果很好的重构算法。

表3 3 种算法在不同压缩比(CR)、不同噪声强度(q)下的残差值

表4 3 种算法在不同压缩比(CR)、不同噪声强度(q)下的PSNR、NMSE

最后，从时间上进行比较。Lenna 图和Parrots 图在不同压缩比、不同噪声强度下的运行时间如表5所示。相对MEA-RA 算法，本文所提MEA-RAADMM 算法在噪声强度小于0.2 时运行时间会有提升，这说明结合ADMM 算法具有减少时间消耗的作用。虽然相对于ADMM 算法，时间消耗大一些，但是若达到相同的去噪效果，时间也是最低的。而且在之前的分析可以看出，相对于MEARA 算法，本文算法不但在PSNR 上有一定的提升，而且也缩短了时间上的开销，进一步提升了该算法的图像去噪重构的效果。

表5 3 种算法在不同压缩比(CR)、不同噪声强度(q)下的运行时间t

3 结论

本文针对图像去噪的恢复效果较差以及恢复时间较长的问题，提出了解决方法。

1)首先根据熵函数提出了一种新的重构算法，即基于熵函数的重构算法——MEA-RA 算法。

2)然后进行实验对比，对比的算法也都是与此相关的一些算法，经过仿真结果可以知道MEARA 算法具有很好的性能，而且时间复杂度相对也比较低。

3)为了进一步降低时间开销，本文将MEA-RA算法与ADMM 算法进行结合，提出了一种新的基于ADMM 的图像去噪算法——MEA-RA-ADMM算法。

4)对新提算法进行仿真分析，结果说明MEARA-ADMM 是一个很好的算法，在PSNR 值上有至少1 dB的提升，而且在时间上，当噪声强度小于0.2 的时候，也得到了一定的提升。本文所提算法具有一定的工程实践价值。