运用数形结合，提升直观想象核心素养

江苏省海门中学 (226100) 徐巧石

直观想象是2017版的高中数学课程标准中提出了高中数学的六大核心素养之一，主要表现为：建立数与形的联系，利用图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物.直观想象并不是完全陌生的东西，与我们高中数学常用的数形结合思想有着密切的联系以形助数或以数思形，通过建立数与形之间的双轨通道，实现两者的交流与联系，是学生需要培养的一种素养.数学中有很多的结论常常是“看”出来的，会“看”就需要直观想象素养.下面通过具体实例说明如何通过问题来体现直观想象素养的水平与表现，探寻直观想象素养培养的途径.

一、养成作图的习惯，积累“形”的常见表示

在教学中，面对具体数学问题，教师要引导学生主动利用图形表达和分析问题，借助图形的直观将数学问题简洁、形象化.想要灵活的借助图形表述和解决问题，学生在平常的学习中需要做个有心人，积累“形”的一些常见表示，构建基本图形库.同时加强文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.

图1

说明：本题考查的方向非常明确，即学生将“数”的语言转化为“形”的表达，进而利用图形解决问题.体现了直观想象素养的水平一，即能够通过图形直观认识数学问题，用图形描述和表达熟悉的数学问题，启迪解决问题的思路，体会数形结合.

图2

评注：此题的关键在于如何将题目中的条件等价转化.画图可以发现题目就是求直线外一点到直线的最小值，所以在解题时要有图形意识，积累图形的等价表述语言，灵活的实现“数”与“形”之间的翻译.体现了直观想象核心素养水平一.

二、借助图形的直观表示，理解问题抓住本质

对于复杂的数学问题，运用“形”之直观呈现问题的基本信息，借助“形”之直观理解“数”之抽象，凭借“形”之直观产生数量关系与问题本质属性的感知，抓住问题本质，获得解题思路.

例3 (2020苏北四市一模·14)．设函数f(x)=|x3-ax-b|，x∈[-1,1]，其中a,b∈R.若f(x)≤M恒成立，则当M取得最小值时，a+b的值为.

图3

评注：本题是填空题的最后一题，有难度，直接从问题出发，问题可转化为先求函数f(x)的最大值，再求关于最大值a,b的函数的最小值，分类讨论繁多，运算量大.如果心中有图形的意识，问题可以很快得到突破.此题体现了直观想象素养的水平二，能够在关联的情境中，想象并构建相应的几何图形，借助图形发现图形与数量的关系，用图形探索解决问题的思路，形成数学结合的思想，体会图形直观的作用和意义.

三、运用图形认识数学问题，把握不同知识间的相互联系

借助图形，对具体数学问题进行观察、分析、认知，从而对问题进行大胆的构造，巧妙的联系，深入的思索.

图4

评注：此题函数表达式复杂，要利用函数的相关性质对解析式进行化简，由式子的结构联想的直角三角形，进而构造问题的具体图形，将函数的最值与三角形面积的最值建立起联系，搭建起桥梁，运用图形的直观理解问题，从而快速的获得解决问题的思路.

四、注重形与数之间的联系，寻求解决问题的突破口

构建形与数之间的联系，以数思形，以形助数，运用数形结合的思想方法，实现形与数之间的相互转化，寻求解决问题的突破口，获得解决问题的思路，发现问题的内在规律.

图5

结语：上述案例中主要是以形助数，其实解题是从学生的角度出发的，从命题者的角度来看，在命制题目时的灵感有很多来自简单图形，借用了数加以表述.著名数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.要提高学生的直观想象素养，在教学中充分运用与渗透数形结合思想是可行的途径.