浅析复合函数单调性的判断方法

陈保进

摘  要：对于高中数学教学来讲，函数是非常重要的教学内容，函数的单调性能够反映函数图像的发展趋势，也能够表示自变量和因变量之间的关系，是数形结合思想的重要基础内容。而且对于函数来讲，奇偶性和单调性成并列的关系，从不同角度展示函数自身的性质，在函数性质教学过程中占据着非常重要的地位。研究函数的单调性是解决函数问题的重要基础内容，也是高考的重要考点。本文对复合函数单调性的判断方法进行简要分析，对于函数单调性的判断来讲，具有非常重要的意义。

关键词：复合函数;单调性;判断方法

引言：

复合函数单调性的判断是高中数学教学的重要知识内容，也是教学的难点内容。对于高中生来讲，要想判斷一个复合函数的单调性需要花费较多的时间和精力，这也使得许多高中生感觉复合函数单调性判断十分困难。实际上，导致高中生在复合函数单调性判断过程中出现此类问题的主要原因是高中生没有真正理解单调函数和复合函数的意义，没有理解同增异减的内涵。本篇文章通过对复合函数单调性的判断方法进行分析研究，对于高中数学教学来讲具有非常重要的意义。

一、利用定义判断函数的单调性

增函数的定义为：在区间D上函数y值会随着x值的增大而增大[1]。减函数的定义为：在区间D上函数y值会随着x值的增大而减小。在判断一般简单的函数时，就可以利用定义反来判断函数的单调性。而对于复合函数来讲，复合函数的单调性定义为，若函数f（u）在U内单调，u=g（x）在X内单调，而且{u|=g（x）x∈X}∈U，如果f（u）和g（x）单调性相同，则y为增函数，如果f（u）和g（x）单调性相反，则y为减函数[2]。

在利用复合函数定义判断函数单调性时，可以按照以下步骤进行：

（一）第一，需要将复合函数整体分为两个基本的初等函数。

（二）第二，需要确定两个初等函数各自的函数定义域。

（三）第三，确定函数各自的单调区间。

（四）第四，若两个函数在相对应区间内同时单调递增或递减，则整体函数为增函数。若一函数为增一函数为减，则整体函数为减函数。这一判断方法也就是所谓的同增异减原则。

（五）第五，求出两函数区间的交集，即为整体函数的单调区间。

二、利用图像判断函数的单调性

对于函数来讲，如果图像从左向右呈上升趋势，则函数在区间内为增函数。如果图像从左向右呈下降趋势，则函数在区间内为减函数。此为判断函数单调性的图像法，在实际的函数单调性判断的过程中，利用函数图像能够非常直接地看出函数的单调性以及变化趋势，在判断复合函数时，也可以利用图像来判断函数的单调性。

首先可以利用定义法或图象法来判断内函数的值域。其次，确定外函数的定义域。对于外函数来讲，利用内函数的值域和定义域能够得到外函数的定义域。最后，根据外函数的定义域和关系表达式画出外函数的图像，根据图像来判断整体函数的单调性。

三、函数单调性判断的实际案例

结束语：

综上所述，对于高中数学教学来讲，函数单调性判断是非常重要的一项教学内容，很多学生在学习的过程中觉得单调性的判断十分困难，无法利用合理有效的方法快速准确地判断函数的单调性。教师应当将各种教学思想渗透到课堂当中，让同学们掌握不同的思想和方法，以便同学们能够更加快速准确地判断出函数的单调性。而且通过这种教学方式也能够促进同学数学能力的提升。

参考文献：

[1]崔加奇.在线教育模式下学生自主学习效果研究[D].广西师范大学，2019.

[2]屈志斌.高中函数教学中培养数学核心素养的研究[D].湖南师范大学，2019.