凸显通性通法 感悟基本策略

文环 靖

函数是中学数学的核心内容之一，函数建模也是模型思想的一个重要组成部分。在初中阶段，我们主要学习一次函数、反比例函数和二次函数。这三种函数在考查内容和考查要求上几乎是相同的。

一、利用待定系数法求二次函数表达式

例1 根据下列条件，分别确定二次函数的表达式：

（1）图像与x轴交点的横坐标分别是与y轴交点纵坐标是-5；

（2）图像的顶点坐标是（1，-4），且经过点（0，-3）。

【分析】待定系数法求函数关系式是常考题型，它一般位于综合题的第一问。无论是哪种函数，待定系数法求函数关系式的步骤一般都是统一的：（1）根据题目条件设出合适的函数关系式；（2）将图像上的点坐标代入，建立方程（组）；（3）解方程（组），确定待定系数；（4）写出函数关系式。

把点（0，-5）代入得-5，解得

（方法2）设二次函数表达式为y=ax2+bx+c（a≠0）。

解得

因为图像经过点（0，-3），

所以-3=a-4，a=1。

所以二次函数表达式为y=（x-1）2-4=

【点评】在所有步骤中，对同学们分析问题能力要求最高的是第一步——设表达式。我们必须要仔细审题确定是哪种函数，弄清到底什么样的表达式合适。以二次函数为例，如果题目条件只是任意给了不在一条直线上的三个点，那么可以设一般式；如果像第（1）问那样给出两个与x轴的交点坐标，则可以设交点式；若题目条件是顶点坐标，那么则可设顶点式。确定合适的函数关系式，将为后期问题是否能够快速准确解决奠定非常重要的基础。第二步——代入，必须明确不是任何点都能代入，只有在图像上的点才能代入。

二、利用数形结合解决函数问题

例2 已知二次函数y=2（x-1）（x-m-3）（m为常数）。

（1）求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点；

（2）当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？

【分析】第（1）问是探究与x轴的交点情况，所以y=0，此处实际上是判断方程2·（x-1）（x-m-3）=0 的根的情况。第（2）问“该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方”指的是图像与y轴交点的纵坐标大于0，由此构造出关于m的不等式。

（1）证明：当y=0 时，2（x-1）（x-m-3）=0。

解得x1=1，x2=m+3。

当m+3=1，即m=-2 时，方程有两个相等的实数根；

当m+3≠1，即m≠-2 时，方程有两个不相等的实数根。

所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点。

（2）解：当x=0 时，y=2m+6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m+6。

当2m+6＞0，即m＞-3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方。

【点评】第（1）问判断一元二次方程根的情况可以分别从根的判别式或者解方程两种途径来解决。结合方程特征，同学们要学会优化。本题方程结构很明显，利用因式分解法解方程最简单。第（2）问“该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方”，若有的同学对这句话不太理解，解决函数问题的基本策略——画图像就派上用场了，通过画图便能将其转化为代数问题。