查找错因 用对方法

文朱 萍

方程与不等式是刻画数量关系的数学模型，二者相互联系，相互渗透。如何正确地用方程与不等式的知识解决问题，是中考的热点。下面就将同学们在方程与不等式学习中经常出现的错误和容易混淆的地方进行汇总，以帮助大家更好地掌握知识、用对方法。

一、对一元二次方程和方程解的定义不清晰

例1 已知关于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+a2-1=0 有一个根为x=0，则a的值为（ ）。

A.0 B.±1 C.1 D.-1

【错解】B。

【错误原因】把x=0 代入原方程得a2-1=0，解得a=±1，所以选B。解题时忽略了一元二次方程二次项系数不为零的条件，没有把a=1舍去。

【正解】D。

【点拨】一元二次方程是指只含有一个未知数（一元），并且含有未知数的项的最高次数是2（二次）的整式方程。遇到方程中有参数时，一定要仔细审题，注意题目中的隐含条件，把求出的值逐一验证。

二、对等式的性质理解不彻底

【错解】去分母得3x=2x+1，解得x=1。

【错误原因】解题时最后一项“1”漏乘了最简公分母3（x+1），最后也没有检验。

【正解】去分母得3x=2x+3（x+1），解得

【点拨】由于分式方程去分母变为整式方程时，未知数的取值范围扩大了，有可能产生增根，所以解分式方程时一定要进行检验。去分母时用到了等式的基本性质：在等式的两边同时乘或除以一个不为零的整式，等式仍然成立。使用该性质时，方程的每一项都要乘最简公分母，不能漏乘。

三、不会灵活运用不等式的性质

例3 下列说法不一定成立的是（ ）。

A.若a＞b，则a+c＞b+c

B.若a+c＞b+c，则a＞b

C.若a＞b，则ac2＞bc2

D.若ac2＞bc2，则a＞b

【错解】D。

【错误原因】对不等式的性质机械背诵，不会灵活运用。选项D 中隐含了c2≠0，所以是正确的；而选项C中，当c2=0时不等式是不成立的。

【正解】C。

【点拨】在不等式的性质中，如果不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号方向不变；同时乘或除以一个负数，不等号方向改变。要仔细读题，对不等式两边乘或除以的整式认真辨别。

四、混淆分式方程有增根和无解的情况

【错解】去分母得：x-2=mx，

∵分式方程无解，

∴方程有增根x=-1，

把x=-1代入，得m=3。

【错误原因】把分式方程的无解当成了有增根。

【正解】去分母得：x-2=mx，即（m-1）x=-2，由分式方程无解，得到：

①方程有增根x=-1，把x=-1 代入，得m=3；

②当m-1=0 即m=1 时，方程左边=0，右边=-2，∴左边≠右边，∴方程无解。

综上所述：m=3或m=1。

【点拨】分式方程有增根和无解是两个不同的概念。分式方程在去分母时把方程变成整式方程，未知数的取值范围扩大了，所以有可能求出的未知数的值不适合原方程，我们把这个值叫做增根，此时原方程无解。但是分式方程无解，不一定就是方程有增根，还有可能是变形后的整式方程无解（关于x的一元一次方程ax=b，当a=0且b≠0时方程无解）。

五、遗漏分式方程分母不为0 的隐含条件

例5 已知关于x的分式方程

A.-2＜k＜0

B.k＞-2且k≠-1

C.k＞-2

D.k＜2且k≠1

【错解】C。

【错误原因】只看到题目表面的条件“解为正数”，而忽略了分式方程本身的隐含条件：分母不为0。

【正解】解分式方程得x=2+k，

∵该分式方程有解，

∴x≠1，即2+k≠1，∴k≠-1。∵分式方程的解为正数，∴x=2+k＞0，∴k＞-2，

∴k＞-2且k≠-1。

故选：B。

【点拨】遇到分式方程的问题，一定要考虑到使原方程有意义的条件：分母不等于0。

以上是同学们在方程与不等式的学习中常见的一些错误，主要原因是概念和知识点理解得不透彻，甚至有的知识点混淆。所以，我们平时要做个有心人，学会及时进行总结和反思，只有这样，才能提升我们的数学思维和解题能力。