环的局部化条件及应用

李艳午

（芜湖职业技术学院 基础教学部，安徽 芜湖 241003）

0 引言

设R是一个交换的含幺环，如果R有唯一的极大理想，那么称R为局部环[1]，如一个域上的形式幂级数环和任意含幺可换环在素理想上的局部化环均是局部环。

在交换代数中，局部环是一个很普及的概念，因为利用局部化的技术往往可以将问题转化到局部环上，从而交换代数的许多概念和结果往往都落在局部环的框架内。所以，无论是在代数几何中还是对于环论本身，局部环都是一个有力的工具。这使得局部环的概念自提出以来，一直吸引着众多代数学者的研究兴趣。特别是近几十年来，随着同调代数的兴起，局部环的同调性质成为代数K−理论方向一个有意思的对象，文献［2−4］均研究了局部环的同调性质。

本文首先探索了从环的不可逆元的幂零性和理想格的链条件等方面实现环的局部化，在此基础上研究了这些环的性质；其次，研究了SF 环的若干局部化条件，得到了这类环在局部化条件下的一些新结果。

如无特别说明，本文中的环都是可交换的含幺环，相关数学符号的涵义参考文献［2−4］。

1 局部化条件

首先，利用环中非可逆元的幂零性构造环的局部化条件，并由此给出局部环条件下这类环的一个同调性质。

定理1设R是非零环，如果对任意的a∉U(R),存在n∈N，使得an= 0（即a是幂零元），那么ϕ:K0R≅Z,ϕ([R])= 1。

证明如果R是非零环，并且R的非可逆元都是幂零的，那么R/U(R)=J(R)，于是根据文献［5］定理19.1 中局部环的刻画定理，可知环R是局部环。……